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nicht überschritten wissen, da ich nur einem inneren Ausbau und einer gründlichen Durch- arbeitung desselben das Wort reden kann. Non multa, sed multum. Wegen ihrer eleganten Anwendung auf die merkwürdigen Punkte und Linien des Dreiecks mögen die zusammen- gehörigen Lehrsätze von Ceva und Menelaus mit ihren Umkehrungen durchgenommen werden. Der Feuerbachsche Kreis oder der Kreis der neun Punkte kann jedoch als ein besonderer Fall von einem Teile eines ganz allgemeinen Satzes übergangen werden, besonders dann, wenn er nicht zur Lösung von Aufgaben benutzt wird.

Die Halbierungslinie des Winkels an der Spitze eines Dreiecks und die seines Nebenwinkels teilen bekanntlich die Grundlinie des Dreiecks nach demselben Verhältnisse, dem der beiden Seiten. Kann schon aus diesem Satze die harmonische Teilung einer Linie hergeleitet werden, so dürfte es sich doch empfehlen, diese Aufgabe in verschiedener Weise zu lösen, um dann den berühmten Satz des Apollonius zu beweisen und auf viele plani- metrische Konstruktionsaufgaben anzuwenden. Eine klare Vorstellung von der Lage der harmonischen Punkte ist stets sehr erwünscht; sie wird am besten durch Bewegung erworben, die nicht genug in den mathematischen Unterricht hineingezogen werden kann. Gerade die Bewegungen bringen reges Leben in den Unterricht und wirken auch belebend auf die Schüler zurück. Ist C der innere, D der äussere Teilungspunkt der Linie AB, so durchläuft D die Verlängerung von BA bis ins unendliche und von hier die Verlängerung von AB bis B in derselben Zeit zurück, in welcher C die endliche Strecke AB von A nach B zurück- legt. Speciell liegt D im unendlichen, wenn C die Linie AB halbiert.

Die planimetrischen Aufgaben schliessen sich teils unmittelbar an die durchgenommenen Lehrsätze an und stellen diese mit ihrer Bedeutung erst in das richtige Licht, teils werden sie in besonderen Stunden nach methodischen Grundsätzen in richtiger Reihenfolge behandelt.

Die Kreislehre und die folgenden Abschnitte liefern sehr viele planimetrische örter, diese so wichtigen Hilfsmittel für Konstruktionsaufgaben. Es ist sehr notwendig, dass der Lehrer jeden planimetrischen Ort in der Schule von allen Schülern in seiner Vollständigkeit zeichnen lässt. Nur so werden diese unentbehrlichen Hilfsmittel ihrer Bedeutung nach richtig erkannt, erfasst und später auch richtig angewandt werden. Alle pl. Orter, ob gerade oder krumme Linien, scheiden haarscharf sämtliche Punkte der Ebene in 3 Gruppen, welche der logischen Einteilung: grösser, gleich, kleiner— oberhalb, auf, unterhalb— ausserhalb, auf, innerhalb u. s. w. entsprechen. Von jedem pl. Orte hat sich der Schüler zu überzeugen, dass alle Punkte desselben, aber auch nur diese Punkte der fraglichen Bedingung genũgen, dass es in der ganzen Ebene nicht noch einen Punkt mit derselben Eigenschaft giebt. So besteht der pl. Ort für die Spitzen aller Dreiecke mit derselben Grundlinie a und demselben Winkel x an der Spitze aus 2 kongruenten Kreisbogen, welche eine geschlossene Figur von

verschiedener Gestalt bilden, je nachdem a— R ist. Alle drei Fälle hat der Schüler zu

zeichnen und sich in jedem von der Bedeutung des pl. Ortes als einer Grenzlinie zu über-

zeugen. Der pl. Ort für die Mittelpunkte aller Kreise, welche den gegebenen Kreis O im

Punkte A berühren, ist die Linie OA. Alle Punkte auf der Verlängerung von 0OA, auf 0A

und auf der Verlängerung von A0 liefern Kreise, die den gegebenen Kreis bezw. von aussen, 2*