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planimetrischen Stunden stets zeichnen und die einzelnen Stücke in den verschiedensten Lagen darstellen lassen.

Würde ein Lehrer der Mathematik vor der Klasse einen planimetrischen Satz in seine Voraussetzung und Behauptung zergliedern, darauf den Beweis desselben liefern und diesen von einem Schüler wiederholen lassen, so könnte ein solcher Unterricht auf den Namen„math. Unterricht“ wenig Anspruch machen. Die Schüler lernen hier„Beweise“ statt„beweisen“. Der math. Unterricht muss ganz andere Wege einschlagen, wenn er in seiner Weise eine Lücke der geistigen Ausbildung ausfüllen will, welche alle anderen Fächer zurücklassen.

Die Schüler müssen unter richtiger Führung des Lehrers auf dem Wege der selbständigen Thätigkeit und des logischen Denkens zu dem Beweise gelangen. Dieser muss entwickelt werden, wie es Fenkner in seinem Lehrbuche der Geometrie auch gethan hat. Damit das aber möxglich ist, muss der Schüler im Unterrichte auf alle Beweismittel auf- merksam gemacht werden, weil er sie selbst unmöglich finden kann.

Der Schüler muss die Bedeutung und den Zweck einer jeden Hilfslinie erfasst haben, ehe er sie zieht; nicht eine zufällig richtige Linie darf ihn zu seinem Ziele führen. So kann der Euklidische Beweis des Pythagoreischen Lehrsatzes auf folgende Weise entwickelt werden: Soll die Summe der Quadrate über den Katheten gleich dem Quadrate über der Hypotenuse sein, so muss sich dieses durch eine Linie so in zwei Teile zerlegen lassen, dass der eine diesem, der andere jenem Quadrate gleich ist. Man wird nun das Hypotenusen- quadrat in 2 Rechtecke zerlegen, weil diese Figur mit dem Quadrate die grösste Ahnlichkeit hat und darum auch die bequemste Vergleichung gestattet. Wir gelangen aber nicht sofort zum Ziele, da beide Figuren ungleiche Seiten haben. Deshalb vergleichen wir ihre halben Inhalte mit einander. Zu diesem Zwecke ziehen wir die bekannte und hier sehr nahe liegende Hilfslinie und erhalten ein Dreieck mit dem Winkel(R+„), welcher von der Hypotenuse a und der Quadratseite c eingeschlossen wird. Durch eine viertel Umdrehung dieses Dreiecks um den Punkt B erscheint dasselbe in einer Lage, in welcher a als Grundlinie des fraglichen Rechtecks angesehen werden kann. Soll dieses nun den doppelten Inhalt des Dreiecks haben, so muss die Gegenseite seiner Grundlinie durch die Spitze des Dreiecks d. i. durch den Scheitel A des rechten Winkels gehen. Die Verlängerung der Hypenusenhöhe im recht- winkligen Dreiecke löst demnach die Aufgabe.

Werden die Beweise auf diese Art entwickelt und geliefert, so werden gerade die talentvollsten Schüler die besten Fortschritte machen und wie in den anderen Fächern auch in der Mathematik die ersten sein. Sie werden auch in späteren Jahren, wenn sie schon der Schule entwachsen sind, der Mathematik nicht entfremdet, denn sie haben sich innere Fähigkeiten erworben, die sie mit Erfolg an ein mathematisches Problem herantreten lassen. Ganz anders steht es natürlich mit den Schülern, die ohne geistige Anstrengung eine Anzahl von Sätzen mit ihren Beweisen gelernt haben. Sie gleichen jenem Thoren, der glaubt, durch den Ankauf von vielen passenden Instrumenten schon ein Chirurg geworden zu sein, während doch erst die Kenntnis ihres Gebrauchs und vor allem eine qurch vielseitige Ubung erworbene sichere Handhabung derselben den tüchtigen Chirurgen ausmachen.

Der Unterrichtsstoff ist gesetzlich vorgeschrieben. Ich möchte ihn auch