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Interessant und lehrreich erscheinen die Reihen zugleich durch ihre Anwendung in anderen Gebieten, auf denen sie den Gesichtskreis des Schülers erweitern und klären. Die bekannte Aufgabe vom Schachbrett, welche wohl in keiner Aufgabensammlung fehlt, wirkt jetzt noch ebenso staunenerregend auf den Schüler, wie einst auf den König Shehram, wenn er erfährt, dass die Weizenkörner in ihrer Gesamtheit alles feste Land der Erde in einer Höhe von 4 ³¼ Linien bedecken würden oder kaum in 70 Jahren geerntet würden, wenn man alles feste Land der Erde nur zum Anbau von Weizen benutzen wollte.— Wer wird nicht mit Bewunderung erfüllt, wenn er hört von der Vermehrungsfähigkeit in der Tier- und Pflanzenwelt durch die Bildung der Lebenskeime, welche die Erhaltung der Art bezweckt und deshalb namentlich dort in wahrhaft verschwenderischer Weise auftritt, wo der Ent- wicklung zahlreiche oder gewaltige Hindernisse entgegentreten? Ohne Kenntnis der geome- trischen Reihe erscheint die Thatsache schwindelhaft, dass eine Bakterie, wenn sie sich innerhalb 1 Stunde halbiert, und sich diese Halbierung stündlich an allen Nachkommen weiter fortsetzt, wie es thatsächlich der Fall ist, dass dann diese eine Bakterie mit all ihren Nachkommen, die sie in 4 ½ Tagen hervorbringt, imstande ist, das ganze Weltmeer voll- ständig auszufüllen. Wenn freilich im beschränkten Raume jene Werte niemals auch nur annähernd erreicht werden, so liegt dies nicht etwa an einem Mangel der Vermehrungs- fähigkeit, sondern einzig und allein an der beschränkten Nahrung. In diesem Nahrungsmangel allein erblicken und erkennen wir die mächtige und gewaltige Schutzmauer, welche die Natur in ihrer mütterlichen Fürsorge zwischen uns und den Krankheitsbakterien aufrichtet, um uns vor diesen schrecklichsten und gefährlichsten Feinden zu schirmen und zu retten.

Auf dem Gebiete der Physik klären die Reihen unter andern die Gesetze des freien Falles, die Dichtigkeit der Luftschichten mit ihren Schlussfolgerungen, die innere Erdwärme und die Vorgänge unter dem Recipienten. Selbst auf dem Gebiete der Philosophie behaupten sie ihre unumstössliche und unanfechtbare Beweiskraft. Wie könnte klarer und deutlicher das bekannte Sophisma von Zeno widerlegt werden, als durch den Begriff der konvergenten Reihe? Sie gerade stellt sowohl die Summe der einzelnen zurückgelegten Wegestrecken, als auch namentlich, was Zeno schlauer Weise verschweigt, die Summe der entsprechenden Zeit- teilchen, in welchen Achilles jene Strecken zurücklegt, als endliche Grössen hin und erklärt so überzeugender als der scharfsinnigste Philosoph, dass Achilles die Schildkröte einholt in einer endlichen, ja sogar in der sehr kurzen Zeit von 1 ¹111) Zeiteinheiten, wenn er ein Stadium in der Zeiteinheit zurücklegt.

PlIlanimcetrie.

Die Planimetrie beschäftigt sich mit Lehrsätzen und Aufgaben. In den folgenden Auseinandersetzungen wird die Behandlung beider Teile näher untersucht und besprochen. Wie überall in der Mathematik, so muss auch der Unterricht in der Planimetrie für klare und unzweideutige Begriffe sorgen, die auf Anschauung beruhen. Nach Kant sind nämlich„Anschauungen ohne Begriffe blind, Begriffe ohne Anschauungen leer“. Anschau- ungen und Begriffe müssen stets in inniger Verbindung bleiben. Daher muss man in den 2