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müssen auch Gleichungen mit gegebenen Wurzelwerten gebildet werden. Gerade solche Ubungen vermitteln das wabre Verständnis und die Bedeutung des Satzes(Vieta) selbst für Gleichungen höheren Grades.
In vielen quadratischen Gleichungen, namentlich den eingekleideten, wird nur ein einziger Wurzelwert angenommen und dem zweiten nach dem Sinne der Aufgabe jede Bedeutung abgesprochen. Solche Urteile aber sind ebenso billig und leicht als unbegründet und respektwidrig gegen die Mathematik als Wissenschaft. In der Mathematik hat jedes Resultat, selbst das scheinbar widersinnigste, seine Bedeutung. Es kommt nur darauf an, dieselbe zu erschliessen und zu erspähen. Dass dies oft schwierig, einem Schüler sogar unmöxglich ist, wollen wir nicht in Abrede stellen. Oft jedoch werden selbst die Schüler durch angestrengtes Nachdenken erfahren, dass beide Wurzelwerte zusammen einer Aufgabe entsprechen, von welcher die gestellte nur einen besonderen Fall behandelt. Abgesehen von dem segensreichen Einflusse auf die Entwickelung des Verstandes sind gerade solche Ubungen, wie keine anderen, geeignet, der Jugend Achtung und Ehrerbietung vor der Mathematik und damit vor der Wissenschaft überhaupt einzuflössen und ihr das Interesse für dieselbe auch über die Schule hinaus zu erhalten, denn„der Mensch ist der Feind dessen, was er nicht versteht“.
Hat man 2 quadratische Gleichungen mit 2 Unbekannten, so führt die Elimination der einen Unbekannten im allgemeinen auf eine Gleichung vierten Grades, deren Lösung nicht in das Gebiet der elementaren Mathematik gehört. In besonderen Fällen ist auch die Eliminationsgleichung vom zweiten Grade oder doch einfacher Natur. Nur solche Aufgaben sind an unserer Schule durchzunehmen. Ihre Behandlung kann sich eng an das eingeführte Lehrbuch von Schubert anlehnen. Hier sind diese Gleichungen ganz passend in mehrere Gruppen geschieden, welche in richtiger Reihenfolge angeordnet sind und ein grosses Feld der Ubung darbieten.
Die diophantischen Gleichungen ersten Grades mit zwei und mehr Unbekannten sind in ihrer Anwendung so anziehender Natur, dass man sie ungern entbehrt, zumal ihre Lösungen ausserordentlich wenig Vorkenntnisse voraussetzen, wenn man sie, wie es gewöhn- lich geschieht, nach der Eulerschen Methode durchführt.
Die Exponentialgleichungen endlich bieten ebenfalls dem keine Schwierigkeiten, der die Logarithmenrechnung versteht. Sie können deshalb auch soweit behandelt und eingeübt werden, als sie sich auf Gleichungen ersten und zweiten Grades zurückführen lassen.
Ihren Abschluss findet die Algebra in den arithmetischen und geometrischen Reihen. Den gewöhnlichen Definitionen füge man auch die bei, dass drei aufeinander folgende Glieder der Reihe dort eine stetige arithmetische, hier eine stetige geometrische Proportion bilden, weil diese Auffassung gerade sehr oft zur Aufstellung von Gleichungen bequeme Dienste leistet. Ihre Hauptanwendung finden die geometrischen Reihen in der Zinseszins- und Rentenrechnung, die auf das Leben und Wirken vieler Stände, Gesellschaften, der Gemeinden und selbst der Staaten eine sehr hohe Bedeutung gewonnen hat und noch täglich weiter gewinnt. Diese angedeutete Wichtigkeit erheischt eine gründliche Behandlung und Einübung dieser Rechnungen an vielen Aufgaben der verschiedensten Art, namentlich auch aus dem Gebiete der Geometrie, welche jedoch bei Mangel an Zeit nicht alle bis zum Schlusse durchzurechnen, sondern nur theoretisch zu lösen sind.