— 7—

Herder 1891) der Vergessenheit entrissen ist. Um die Gleichheit der Dimensionen zu wahren, geben wir der allgemeinen quadratischen Gleichung die Form

82+ 2 ax—= 52, in welcher x deshalb den Koefficienten 2 a hat, weil bei der quadratischen Ergänzung das Glied 2 a x als das doppelte Produkt der Basisglieder und die Unbekannte x aus dieser Form in den denkbar einfachsten und für das Gedächtnis bequemsten Ausdrücken erscheint. Es sind nun folgende 3 Fälle zu unterscheiden:

1.) 1* J. 2 àx= 12 oder XG+ 2 a)= b ² 2.) 2— 2 a x= 12 oder X(X— 2 a)= b2 und 3.)—+ 2a x= 12 oder X(2a— v)= B.

In dem 1. und 2. Falle beschreibe man mit dem Radius a den Kreis, lege eine Tangente an denselben und trage vom Berührungspunkte B aus die Strecke b= BA auf ihr ab. Verbindet man nun A mit dem Mittelpunkte 0 des Kreises, so ist für den ersten Fall der äussere Abschnitt AC= x und für den zweiten die ganze Sekante AD= X. Fs ist ferner A0= Va?* † be und deshalb

1.) X— a+ Vai+ be und 2.) X a+ Va*+ b'.

Im 3. Falle beschreibe man wieder mit a den Kreis und ziehe zum Durchmesser CD im Abstande b die Parallele, welche den Kreis in B und B schneidet. Fällt man nun von B auf CD die Senkrechte BA, so ist AC= NM und AD=. Hier ist AO= Var— bi und

Mn'

3.) A0== a— Var— b' und

4D— Xg= a+ Var— p.

Hier ist also die Lösung unmöglich, wenn b— a ist. Stellen x, a und b nicht Linien, wie hier, sondern Zahlen dar, so erhalten wir im 3. Falle 2 konjugiert komplexe Wurzeln für b= a.

Die Gleichung hat die Wurzel o, wenn das Absolutglied fehlt. Dieser Wurzelwert o wird nur zu gern und oft von den Schülern bei der Division der Gleichung durch x über Bord geworfen, was durchaus unstatthaft und unerlaubt ist. Man muss einer derartigen Bequemlichkeit oder Gedankenlosigkeit schon deshalb entschieden entgegentreten, weil das gleiche Verfahren bei trigonometrischen und stereometrischen Aufgaben zu einseitigen, inkorrekten und äusserst mangelhaften Lösungen führen würde, fielen doch oft gerade die einfachsten und greif barsten Resultate fort.

Die Wurzeln der Gleichung— 2 pDx+† ¶= o haben nun die Eigenschaft, dass ihr Produkt gleich dem Absolutgliede, ihre Summe gleich dem negativen Koefficienten von x ist. Dieser theoretische Satz kann sehr leicht allgemein bewiesen werden, wenn mau nur bedenkt, dass eine Gleichung mit den Wurzelwerten a und b die Form(X— a)(XO b)

= 12—(a+b) X ab= o hat.— Nach diesem Satze, welcher an vielen Beispielen zu prüfen und bei den verschiedenen Wurzelwerten noch zu betrachten und zu untersuchen ist,