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befestigen und einen klaren UÜberblick über dieselben zu bieten. Von diesem Stand- punkte sind die nachfolgenden Ansichten, Entwickelungen und Bemerkungen niedergeschrieben.

Wegen des engen Rahmens, der mir hier zur Verfügung steht, und wegen der vorzüglichen Behandlung, der sich alle Teile der Mathematik in manchen Lehrbüchern und in dem bekannten methodischen Werke von Reidt erfreuen, beschränke ich mich auf einzelne Punkte des Teiles des mathematischen Unterrichtes, welcher der Sekunda an unvoll- ständigen Anstalten zufällt. Es sind dies die Logarithmen, die Reihen und ihre Anwendungen, die Gleichungen, einige Abschnitte aus der Planimetrie und namentlich planimetrische Aufgaben, ferner die Trigonometrie und die Stereometrie.

Die Logarithmen werden in der Schule nur wegen ihrer praktischen Anwendung gelehrt. Man verzichtet auf eine Theorie derselben und beschränkt sich sogar auf einfache Logarithmensysteme, ja vielleicht nur auf das Briggssche. Aus diesen Gründen wird die Behandlung der Logarithmen in der Schule in Vergleich zu einer einigermassen genügenden Behandlung der Potenzen und Wurzeln einfach und leicht.

Aus der Potenz b'= a folgt x= blog a.

Der log a zur Basis b ist hiernach der Exponent, mit welchem man die Basis b potenzieren muss, um a zu bekommen.

Mit dieser Definition sind zugleich die beiden Grundformeln

blog a b n 1.) b— a und 2.) log b=— n.

ausgesprochen, aus denen die Herleitung der 4 Logarithmengesetze sich naturgemäss folgendermassen ergiebt. b b b b log a log* log(ac)= log(b. b

b b log a log c biog g a+ log

b b = log a+ log c.

Wie dieses eine Logarithmengesetz, so werden auch die 3 anderen bewiesen. Wer eines verstanden hat, versteht sie alle.

Hier ist sofort das erste Logarithmengesetz in seiner Allgemeinheit bewiesen. Der Unterricht hat jedoch von einem ganz bestimmten Systeme, dem Briggsschen, auszugehen, in ihm an bestimmten Potenzen der Basis 10 den klaren Begriff des Logarithmus zu erschliessen und zu befestigen, darauf in diesem Systeme die Logarithmengesetze zunächst an bestimmten Zahlen und allgemeinen Grössen zu entwickeln und erst dann zu dem allge- meinen Systeme fortzuschreiten.

Alle Schüler der oberen Klassen unserer höheren Schulen lernen mit Logarithmen reechnen, aber nur sehr wenigen bleibt diese so wichtige und im täglichen Leben so praktische und notwendige Rechnung als geistiges Eigentum erhalten. Der Grund hiefür liegt teils darin, dass die Rechnungen nur mechanisch eingeübt, aber nicht verstanden wurden, teils darin, dass die Ubungsbeispiele und Aufgaben nicht in hinreichender Anzahl oder nicht in der richtigen Reihenfolge geboten wurden. Beide Ubelstände sind sorgfältig zu vermeiden.