Die Aufgabe, eine Kugel mit dem Gradnetze in einer Ebene darzuſtellen, gehört zwar der Projectionslehre an, doch mögen die einfachſten Conſtructionen hier Stelle finden.

Zunächſt iſt der Augenpunkt zu wählen, von dem aus man die Kugel projiciren will. Nimmt man dieſen unendlich weit von der Erde an, etwa einen Fiyſtern, ſo daß alle Geſichtslinien die Erde parallel treffen, ſo erhält man die orthographiſche Projection. Will man dagegen die eine Halbkugel vom Gegenpunkte der andern Halbkugel aus conſtruiren, ſo iſt dieſes die ſtereo⸗ graphiſche Projeection. Denkt man ſich die Erde endlich von einem Würfel umgeben und proji⸗ cirt die Oberfläche derſelben vom Mittelpunkte aus auf die entſprechende Seite des Würfels, ſo ent⸗ ſteht die Centralprojection. Alle drei heißen auch perſpectiviſche Projectionen. Liegt dabei der Augenpunkt in der Verlängerung der Erdaxe, bildet alſo der Pol die Mitte, und der Aequator den Schluß der Zeichnung, ſo iſt dies eine Polarprojection, während bei der Aequatorialpro⸗ jection der Augenpunkt in der Verlängerung eines Radius des Aequators liegt, ſomit ein Punkt des letzteren in der Mitte und ein Meridian am Rande der Zeichnung erſcheint. Die erſte Art gibt eine Darſtellung der nördlichen und ſüdlichen Halbkugel, die letztere zeigt uns eine öſtliche und weſt⸗ liche Erdhälfte.

1. Orthographiſche Polarprojection. Da die Parallelkreiſe hierbei der Pro⸗ jectionsfläche parallel ſind und die Meridiane von einem Punkte ihrer Ebene aus betrachtet werden, ſo erſcheinen erſtere als Kreiſe, letztere als gerade Linien. Um jene zu erhalten, betrachten wir (Fig. 13) den von 15 zu 15° eingetheilten Aequator APQals Meridian, und AQals Durchmeſſer des Aequators; dann ſind die Linien 15,15— 30,30 ꝛc. die Durchmeſſer der Parallelkreiſe von 15 zu 15 Grad. Fällt man daher von den Theilpunkten des Meridians Senkrechte auf den Aequator, ſo ſind die Linien 1,1— 2,2— 3,ᷓ3 ꝛc. die Durchmeſſer der geſuchten Kreiſe, wovon jeder gleich 2r cos.% iſt, wenn„ die zugehörige Breite bedeutet. Einfacher erhält man die Punkte 1, 2, 3, 4 ꝛc. als Durchſchnittspunkte der Verbindungslinien der entſprechenden Breitepunkte des Meridians mit dem Durchmeſſer des Aequators. Um die Meridiane zu erhalten, haben wir nur die Projection des Poles nämlich 0, mit den Theilpunkten des Aequators APQ zu verbinden. Bei Ausführung der Projection ſehen wir, daß die Punkte der Erdoberfläche in der Nähe des Poles ungefähr ihre richtige Lage beibehalten, während die Gegenden in der Nähe des Aequators ſehr ſtark in einandergeſchoben und gedrückt erſcheinen.

2. Orthographiſche Aequatorialprojection. Hierbei erſcheinen wegen des unendlich weiten Abſtandes des Geſichtspunktes die Parallelkreiſe als gerade Linien, während die Meridiane wegen ihrer ſchiefen Neigung zur Projectionsebene zu Ellipſen werden, deren große Axe gleich dem Durchmeſſer der Kugel und deren kleine Axe gleich dem sinus des Neigungswinkels iſt, den der Meridian mit dem als gerade Linie erſcheinenden Mittelpunktsmeridiane bildet. Iſt(Fig. 14) APOs der von 15 zu 150 eingetheilte Grenzmeridian, PS der auf ihm ſenkrechte Mittelpunkts⸗ meridian, A0 der Aequator, ſo findet man die Parallelkreiſe, indem man die entſprechenden Theil⸗ punkte 15,15— 30,30 dc. mit einander verbindet. Die halben Sehnen ſind zugleich die sinus der vorhin genannten Neigungswinkel, alſo kleine Axen der Meridianellipſen, und geben daher, auf den Aequator übertragen, den Durchſchnitt der Ellipſen mit dem Aequator. Um die Durchſchnittspunkte mit den Parallelkreiſen zu finden, hat man deren Projection übereinſtimmend mit AO zu theilen, reſp. die Ordinaten 15,6e— 30,d— 45,c ꝛc. entſprechend der Ordinate AO0 zu verkürzen. Hierzu dient (Fig. 15) das gleichſeitige Hülfsdreieck DBC, deſſen Seiten gleich A0(Fig. 14) und übereinſtim⸗ mend mit AO getheilt ſind, alſo Bf= 0,1= CF; Bg= 0,2= CG ꝛc.; durch f, g, h, i, k ſind die

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