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dann beansprucht werden kann. Die Lehrsätze erscheinen in naturgemäszem, innerem Zusammenhang und tragen in ihrer Entstehung den Beweis für die Wahrheit; alle Ililfslinien sind nicht mehr künstlich gewählte, sondern durch die Sache selbst bedingte. Endlich möchte ich es als einen nicht allzugeringen Vortheil ansehen, dasz die genetische Methode dem Anfänger über die Schwierigkeiten der Incommensurabilität hinweghilft; da nämlich dieselbe die Raumgröszen durch Bewegung erzeugt, so lassen sich diese auch immer nach einer— freilich ideellen— Einheit vergleichen, welche das Bewegungselement liefert. Die- jenigen geometrischen Systeme, welche von gegebenen Raum- gröszen ausgehen, geben die Continuirlichkeit anf, bedürfen zur Vergleichung jener einer endlichen Einheit und können demnach bei gewissen Untersuchungen die Incommensurabilität nicht umgehen.
Wenn ich die Einführung der genetischen Methode bei Entwicklung des geometrischen Lehrsystems für dringend not- wendig erklärte, so soll damit nicht gesagt sein, dasz vom didaktischen Standpunkte aus ein synthetisches Verfahren gänz- lich überflüszig sei; ich halte es im Gegentheil sogar für ganz notwendig, dasz der Schüler jeder Genesis die Synthesis folgen läszt, da letztere ihm klar und bündig die Hauptmomente des genetischen Ganges darlegt und glaube, dasz solche nachfol- gende synthetische Behandlungen die zweckmäszigsten Themata zu schriftlichen Ausarbeitungen geben.
Die Art und Weise, wie ich dies ausgeführt wissen will, soll in folgenden Beispielen gezeigt werden und ich hoffe, dasz eine Vergleichung dieser Behandlungsweise mit der bisher üblichen die Wahrheit des oben Gesagten bestätigen wird.
I. A. Genesis(Fig. 6).
Nachdem gezeigt ist, dasz zu jedem Dreieck abe ein ihm ähnliches asb“c“ erzeugt wird, indem man durch einen Punkt b“ in einer Seite ab mit einer anderen Scite be eine Parallele b“c“ zieht, ist leicht einzusehen, dasz jedes dritte Dreieck al b’c=, welches dem Dreieck au b"e“ congruent— mit ihm einerlei— ist, auch dem Dreieck abe ähnlich sein wird. Nun