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B X ist aber gleich der Hälfte des Radius des gegebenen Kreises gemacht, also ist CY gleich dem Radius, d. h. Punkt X liegt auf der Peripherie des Kreises und fällt demgemäsz mit Punkt D zusammen. AD ist daher auch im Punkte X halbirt. Determ. Für AC 30CD ist die Lösung unmöglich. Untersuchen wir nun an den voranstehenden Beispielen das Wesen der analytischen und synthetischen Methode etwas näher, so ergibt sich, dasz die Synthesis die Auflösung als etwas zufällig schon fertiges hinstellt und in dem Beweis die Gründe für die Richtigkeit desselben darlegt, und, wenn es nötig ist, auch noch die Grenzen der Möglichkeit einer Lösung, die so genannte Determination beifügt. Die Analysis dagegen verfolgt wesentlich folgenden Gang: Die Aufgabe wird als bereits gelöst betrachtet, die gegebenen und die zu suchenden Stücke werden in einer Figur in der durch die Natur der Aufgabe bestimmten Lage verzeichnet; da wo gegebene Stücke nicht unmittelbar Theile der Figur sind, werden diese erst dargestellt, jedoch so, dasz sie möglichst in Verbindung mit- einander bleiben(Aufgabe II); alsdann wird der Zusammenhang zwischen den gegebenen und den zu suchenden Stücken unter- sucht, der in den meisten Fällen erst mittelbar durch Hilfslinien erkannt wird. Von den Bedingungen der Aufgabe aus gelangt man nun zur gegenseitigen Abhängigkeit der vorkommenden Stücke und wird auf bereits bekannte und bewiesene Lehrsätze oder schon gelöste Aufgaben geführt, deren Anwendung die Lösung der vorliegenden Aufgabe ermöglicht(besonders Auf- gabe III). Jede Aufgabe ist als gelöst zu betrachten, sobald die zu suchenden Stücke als Functionen der gegebenen erkannt sind. Die Construction ergibt sich dann meist von selbst und der Beweis für ihre Richtigkeit, den die Synthesis immer ihrer den Charakter der Willkür tragenden Lösung folgen lassen musz, ist in den meisten Fällen überflüssig, sofern die Analyse streng war, da er(vergl. Aufgabe III) nichts anders, als die rückwärts gelesene Analyse selbst ist. Nur in den Fällen, wo die Analyse auf Lehrsätze führt, deren Umkehrung eine nicht so allgemeine Wahrheit enthält, wie diese selbst, musz der Beweis notwendig folgen und kann dann den umgekehrten Gang nicht streng durch- führen. Vergleiche Aufgabe IV, dort schlosz die Analysis: