IV.

Von einem auszerhalb eines Kreises gegebenen Punkt A an denselben eine Secante A D so zu ziehen, dasz der äuszere Abschnitt AX gleich der Hälfte der ganzen Secante AD wird.

1) Analysis(Fig. 5). 8 Ist AD die zu findende Secante, dann sind auszer A C noch bestimmt, die Gerade CD und die mit ihr durch X parallel gezogene X B. Daraus ergibt sich NADCONAB X, mithin AD AC CD

Nun ist Ab=4 X 2= also auch AC CD 2= AB und 2= B X.

Da AC der Grösze und Lage nach bekannt ist, so ist auch AB bestimmt, und da CD der Grösze nach gegeben, so kennt man auch B X der Grösze nach; die Lage des Punktes X ist damit bestimmt, also auch die Secante AD gefunden.

2) Synthesis.

Ziehe die Gerade AC, halbire dieselbe in B und beschreibe mit B X gleich 3 CD von B als Mittelpunkt einen Kreisbogen, der die gegebene Peripherie in X schneidet; ziehe alsdann die Gerade A X und verlängere dieselbe bis zu ihrem zweiten Durchschnitt mit der Kreislinie in D; AD ist die zu suchende

Secante. Beweis. Zieht man die Gerade B X und durch C mit ihr

eine Parallele, welche die Verlängerung von AX in X treffen

möge, dann ist NACYOᷣAB X folglich

AC AY CX

ABß AX B X da nun AB= AC, so ist auch AX= IAY und BX= 0 V.