Wie bei allen wissenschaftlichen Untersuchungen, so stoszen wir auch in der Geometrie zunächst auf zwei Hauptwege, den analytischen und den synthetischen; der erstere nimmt eine aufgestellte Wahrheit als zugestanden an und folgert aus ihr eine anerkannte, während der letztere von einer anerkannten Wahrheit zu der aufgestellten fortschreitet. Wie diese beiden Methoden sich bei geometrischen Problemen gestalten, soll an folgenden Beispielen gezeigt werden.

I.

Es sei eine Kreislinie K gegeben und auszerhalb derselben ein Punkt A; man soll von diesem aus eine Tangente an jene legen.

1) Analytische Lösung(Fig. 1).

Gesetzt es wäre AB die zu suchende Tangente; dann bildet der Halbmesser CB mit ihr einen rechten Winkel. Die Scheitel aller rechten Winkel aber, deren Schenkel durch die

Punkte A und C gehen, liegen auf der Peripherie eines Kreises, dessen Mittelpunkt in der Mitte von AC liegt, dessen Radius gleich AC ist; es musz also Punkt B sowol auf der Peri- pherie des Kreises K, als auch auf der des Kreises K“ liegen, mithin da, wo beide sich schneiden. Da dies in zwei Punkten geschieht B und B“, so können von Punkt A aus zwei Tan- genten an den Kreis K gelegt werden.

2) Synthetische Lösung(Fig. 2). 4

Nimm den Mittelpunkt des gegebenen Kreises K, ziehe die Gerade CA und beschreibe mit derselben aus C als Mittel- punkt den Kreis K errichte auf CA in D das Perpendikel D E, ziehe C E und AB, so ist AB die vom Punkte A aus an den Kreis K zu legende Tangente.

Beweis: CA= CE

CD= CB

KACE= XACE folgl.

NACBAN ECDh mithin

X ABC= L ED;

*. EDC 1 R folglich auch

L ABC= IR, und daher auch AB eine Tangente an den Kreis K.