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Es lässt sich indessen noch eine zweite Polargleichung aufstellen für den Doppelpunkt 4 der Curve als Pol und zwar, ähnlich wie in(43) und(43), sowohl für den innern, wie für den äussern Curventeil je eine besondere. In Beziehung auf Punkt A lauten nämlich die Gleichungen(68):

æ=((sin †— sin 2%)

9„yä= 0(cos— cos 2 G)— 0 oder: x= O sin G(1— 2 cos)

„yä= 0 cos(1— 2 cos) und durch ähnliche Betrachtung wie in dem damaligen Falle ergiebt sich hieraus:

r= 0(2 cos— 1)(71) als Polargleichung für den inneren Curventeil, d gezühlt von der negativen„-Axe, sowie

r=— 0(2 cos G˙— 1)(71) als Gleichung des äusseren Teils, d gezählt von der positiven„-Axe.— Es genügt jedoch auch

hier(71) für die ganze Curve allein, wenn man beachtet, dass negative Werte des Radiusvector auf der Rückwärtsverlängerung des beweglichen Schenkels von liegen. 4

Für zwei zusammenfallende Radiusvectoren des innern und äussern Curventeils A4 D= und A4 D'= re hat man, da in dem Falle 9˙=&+ 9 sein muss:

r= 0(2 cos— 1)

und re= 0(2 cos+ 1) mit hin durch Subtraktion: re— r= 20 oder DD“= 20(72)

Die Differenz irgend zweier zusammenfallender Radienvectoren des innern und äussern Curventeils ist also constant= 20= dem Durchmesser des rotierenden Kreises.

Ebenso ergiebt sich für einen Radiusvector A F= r., der den innern Curventeil nicht trifft, und denjenigen, welcher auf dessen Rückwärtsverlängerung liegt, nämlich 4 Ee= r.“:

re=—((2 cos ˙ε— 1) und re= 0(2 cos dϑ‧+ 1) und daraus

T+ rTe“— 20 1(72)

oder FEE= 20 Dieses ganze Ergebnis in(72) und(72) heisst in Worten: Jede durch den Doppelpunkt A gezogenen Grade schneidet die Curve in zwei Punkten, die entweder auf derselben Seite oder auf verschiedenen Seiten von A liegen und deren Entfernung von einander constant gleich dem Durchmesser des rotierenden Kreises ist. Für das Bogenelement der Curve erhält man am einfachsten aus(70):

ds= 20 W1— 1sn. 5 d9

ein Ausdruck, dessen Integral auch wieder nur annäherungsweise zu bestimmen ist. Für den Inhalt F des von der halben Curve und dem zugehörigen Stück der negativen „-Axe begrenzten Flächenraums 0O P4 B00 ergiebt sich:

4*