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Da ferner bei unendlich wachsendemer Winkel unendlich klein wird, so erhält man, da man für sin ꝙ alsdann den Bogen † selbst setzen kann

r sin p= rPp= OP“ während o sin%= O0 und r cos H= r cos O= r wird. Diese Werte in(17) oder(18) substituiert liefern alsdann aus jedem der beiden Fälle, wenn man gleichzeitig statt ꝙ wieder einfach ꝙ schreibt: r= Oof— 0 sin(1— ³)⸗ „(50) v=— O— 0 cos(1— m 9)⸗

Betrachten wir zunächst einige hierin enthaltene spezielle Fälle:

1) Für m= o ergeben sich aus(50), je nachdem 9“ kleiner oder grösser ist als 9, die Gleichungen der gestreckten oder verschlungenen Cycloide, welche Curven bei festliegendem Punkt P auch thatsächlich entstehen müssen.

2) Für m=+ 6 entsteht:

v= 09.

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v= O— O=Td Gu welche Gleichungen offenbar eine zur æ-Axe im Abstande+† d oder— d parallele Grade reprä- sentieren. Dies ist auch ohne weiteres aus der Anschauung klar; denn da in diesem Falle Punkt P den dem Abwälzungswinkel entsprechenden Bogen seines Leitkreises durchläuft, so bleibt er stets auf dem durch den jedesmaligen Berührungspunkt gehenden Radius des Rollkreises oder dessen Verlängerung und befindet sich so stets im Abstande£ d von der xæ-Axe.

3) Für m=+ 2 6 nehmen Gleichungen(50) die Gestalt an:

ĩ=+ 0'sin G(52) v= O— 0 cos„ oder auch, wenn man= O †d setzt: x= O+†(ᷣ† d) sin f(2c)

= O—( † d) cos& Eine einfache Betrachtung lässt die Curve, je nachdem das negative oder positive Vor- zeichen von d Geltung hat, als eine gestreckte oder verschlungene Cycloide erkennen, die sich in umgekehrter Lage befindet, den Scheitel also nach unten gerichtet; und zwar liegt dieser, bei der gestreckten Cycloide um die Strecke d über, bei der verschlungenen um dieselbe Strecke unter dem Coordinatenanfang. Die Curven werden in diesem Falle vom Scheitel aus beschrieben, sodass von der ersten der unendlich vielen sich aneinanderreihenden zunächst nur die Hälfte entsteht; dieselbe wird vervollständigt, wenn der Kreis nach der entgegengesetzten Richtung rollt. Denn bei umgekehrter Wälzungsrichtung muss auch für Punkt P die Eigenbewegung im entgegengesetzten Sinne erfolgen, sodass also auf der negativen Seite der„-Axe die Bewegungsverhältnisse für P sich ganz symmetrisch zu denen auf der positiven Seite gestalten, mithin ein dem positiven Cur- venast ganz gleicher, symmetrisch zur„-Axe liegender, d. i. die andere Curvenhälfte, entsteht. Wird o“= o, der rollende Kreis also selbst die Leitcurve, so nehmen Gleichungen(50) die speciellere Form an: