37 A.A, ſo wie der Winkel an der Spitze durch CS halbiert.

§. 105.

Lehrſatz. Für einen Punct außerhalb eines Kreiſes ſind die Abſtände von den Berührungspuncten der beiden von ihm an den Kreis gezogenen Tangenten einander gleich(die zugehörigen Tangentenſtrecken); ihr Winkel wird durch die zugehörige Centralſecante halbiert.

Beweis. Die rechtwinkeligen Dreiecke CP.P und CT, P ſind congruent(2 Seiten und der Gegen⸗ winkel der größeren); daher PT.= PT, und Winkel CPT.=(PT..

§. 106.

Lehrſatz. Im Secantenviereck ſind die Gegen⸗ Lehrſatz. Im Tangentenviereck ſind die Gegen⸗ winkelſummen einander gleich(jede= 2R). ſeiten ſummen einander gleich.

Beweis. Die Winkel A und C beſtehen aus Beweis. Die Seiten AD und B beſtehen den Stücken a,.„ und d; die Winkel B und D aus den Stücken a, b. c und d; die Seiten AB beſtehen aus den gleichen Stücken α,„, p und 3. und CD beſtehen aus den Stücken a, b, c und d; Daher iſt A+† C= B+ D= 2R. daher iſt D+ B0= AB+ CD.

§. 107.

Erklärung. Die Verbindungslinie der Mittelpuncte zweier Kreiſe heißt die Centrale der Kreiſe.

Lehrſatz. Zwei Kreiſe haben entweder zwei oder einen oder keinen Punct gemeinſchaftlich. Im erſten Falle ſchneiden, im zweiten berühren ſie ſich; im dritten liegen ſie ineinander oder außereinander. Im Falle des Schneidens liegen die beiden Schnittpuncte ſymmetriſch zu beiden Seiten der Centrale, in gleicher Entfernung von derſelben. Im Falle des Berührens liegt der Berührungs⸗ punct auf der Centrale beider Kreiſe.

Beweis 1. Die Kreiſe ſchneiden ſich. Man ziehe die Radien der Schnittpuncte, ſo entſtehen congruente und gleichſchenkelige Dreiecke mit halbierten Winkeln an der Spitze, woraus die erſte Behauptung folgt. Es iſt nämlich Dreieck C.S. C.+☛᷑ C, 8.C,, daher iſt Winkel S.C.S, und Winkel 8,C. 8; durch die Centrale halbiert, und in den gleichſcheukeligen Dreiecken 8.SC, iſt die Baſis 8,8, halbiert, alſo liegen S8., und 8. ſymmetriſch und gleichweit von C.Cr.

2. Die Kreiſe berühren ſich. Läge der Berührungspunct nicht auf der Centrale, ſo bildeten die beiden Mittelpuncte und der Beruhrungspunct die Ecken eines Dreiecks C. TC, in welchem C.,T+† CaT — C,C, ſein mußte. Ein Punct X auf C. Ca, welcher von C, um C. T enifernt ware, müßte, da als⸗ dann C.X= C.T wäre, innerhalb des Kreiſes(Cz) und auf der Peripherie des anderen(C1) liegen; daher müßte der Kreis C, den Kreis C, ſchneiden, was gegen die Vorausſetzung iſt. Daher muß der Berührungspunct auf der Centrale liegen.

§. 108. Lehrſatz: Je nachdem bei zwei Kreiſen 1 Lehrſatz. Je nachdem bei zwei Kreiſen

1. der eine ganz außerhalb des andern liegt; 1. die Centrale größer als die Summe der Radien; 2. der eine den andern von außen berührt; 2. die Centrale gleich der Summe der Radien; 3. der eine den andern ſchneidet; 3. die Centrale kleiner als die Summe, aber 4. der eine den andern innen berührt; größer als die Differenz der Radien; 5. der eine ganz im andern liegt; 4. die Centrale gleich der Differenz der Radien;

iſt die Centrale derſelben 5. die Centrale kleiner als die Differenz der Ra⸗ 1. größer als die Summe der Radien; dien iſt; muß der eine Kreis 2. gleich der Summe der Radien; 1. ganz außerhalb des andern liegen;