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3. kleiner als die Summe, doch größer, als die Differenz der Radien;

4. gleich der Differenz der Radien; 5. kleiner als die Differenz der Radien.

1. Vorausſetzung: Kreis C. liegt ganz außerhalb C..

Behauptung. C, C.= r.+ 1..

Beweis. Es iſt A, unter allen Puncten des Kreiſes C, der dem Kreiſe C, nächſte. Da nun auch dieſer Punct außerhalb des Kreiſes C liegt, ſo iſt C.A.=* r..

Addirt man nun beiderſeits r., ſo iſt CrA+ r.=r.+ r. d. h. C.C.= 1,+ r..

2. Vorausſetzung. Kreis Cô berührt C, von Außen.

Behauptung. C,C.= I. Tr..

Da nach§. 107 der Berührungspunct auſ der Centralen liegen muß, ſo iſt CA= Ir. und C.A= r.; mithin CA+ C⸗A oder C.C.= r.+ rz.

3. Vorausſetzung. Kreis C, ſchneidet C..

Behauptung. C.C. r,+† r.= rr— rz.

Iſt S ein Schnittpunct, ſo iſt im Dreieck C.SC, die Summe C.S+ C.S= C.Cz, oder wenn man die Radiener einſetzt r.+ r.= C. Ca. Es iſt aber auch C.C.+† r. Sr; und, wenn man beiderſeits r. ſubtrahiert, C.C⸗+ r,— r.=

r.— 1. d. h. CrC=æ= r1— 1T2. 4. Vorausſetzung. Kreis C, berührt C, Behauptung. C.C,= I.— 1..

Läge der Berührungspunct außerhalb der(ver⸗ längerten) Eentrale, etwa in X, ſo wäre im Dreieck C.XC, die Summe C, C.,+ C.X= C. X und da C.X= C,B, wäre, auch C.C.+ C: B. oder (,B.= C.X= r., daher Punct B, außerhalb des Kreiſes um C und demnach eine Innenberührung nicht vorhanden. Alſo muß der Berührungspunct

2. den andern außen berühren; 3. den andern ſchneiden; 4. den andern innen berühren; 5. ganz im andern liegen. 1. Vorausſetzung. C.C,=r.+†r.. Behauptung. Kreis C, liegt außerhalb C.. Beweis. Es iſt C.C,— r. r. Tr.,— r. d h. C.A, r.; alſo Punct A, außerhalb des Kreiſes C.. Nun iſt C. A, der kürzeſte Abſtand des Punctes C. vom Kreiſe C.(§. 97), alſo iſt jeder andere Punct auf dem Kreiſe C, weiter von C, entfernt als A,; daher liegt der ganze Kreis C, außerhalb Ca. 2. Vorausſetzung. C.C,= I.+ 1..

Behauptung. Kreis C, Außen.

Subtrahirt man von C,C,= r, Pr. beiderſeits rz, ſo iſt C.C,— r,= I.+ r.— 1.= I. d. h. CA,= r., alſo liegt A, auf dem Kreiſe C.. Da nun jeder andere Punct des Kreiſes C, weiter von C., abſteht, als A,(weil im Dreieck C.XC, die Summe C.X+ C.X= C., C. und wenn man Ir, für CoX ſetzt, ſo wäre C.X Tr. — CiC, und dar,+ r.= C, C., ſo wäre C. X = r, alſo X außerhalb C,), ſo berührt Kreis C, den C, von Außen.

berührt C. von

3. Vorausſetzung. C.,C: r;+ 1.= r/— r.. Behauptung. Kreis C, ſchneidet C.. Da

C.C.= r.+ r., ſo iſt, wenn man r, ſubtrahirt, C.C.— r, oder C.A,= r. d. h. Purct A. im Kreiſe C.. Da ferner C., C,= r.— rI. iſt, ſo iſt, wenn man I. addirt C.C,+ 1.= r.— r. Tr. r, d. h. Punct B, außerhalb des Kreiſes Darum ſchneidet der Kreis C. den C.

4. Vorausſetzung. C.C,= I1.— r..

Behauptung. Kreis C, berührt C, innen. Da C, C,= I.— r, iſt, ſo iſt C.C,+ r.= r. d. h. C. B.=.; daher iſt B, ein Punct auf dem Kreiſe C.. Da ferner C,A.= C.B.= I. i*ſt, ſo liegt Punct A, innerhalb des Kreiſes Ci. Es iſt alſo B, der dem Centrum C. fernſte und A, der ihm nächſte Punct des Kreiſes C, mithin liegt letzterer in erſterem und berührt ihn innen.

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Ci.