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Kreiſes, für welchen AB eine Sehne iſt. Aus glei⸗ gleichen Gründen iſt Dreieck ‿MEC △ MFC, daher chen Gründen enthält EM den Mittelpunct des ME= MF. Der Kreis mit dem Radius ME geht Kreiſes, für welchen B0 Sehne iſt. Für beide Kreiſe alſo durch E, D und F, berührt alſo a, b und c. aber iſt MB Radius, daher ſind dieſe Kreiſe identiſch. Anmerkung. Jedes Dreieck hat einen Außenkreis, von welchem es Secantendreieck und einen Innenkreis, von welchem es Tangentendreieck iſt. §. 103.

Lehrſatz. Alle peripheriſchen Kreuze eines Lehrſatz. Die Scheitel aller gleich winkeli⸗

eines Kreiſes, deren Gerade durch zwei feſte Puncte der Peripherie laufen, ſind winkelgleich.

Beweis. Allen ſolchen Kreuzen gehört ein einziges centrales Kreuz an, deſſen Geraden durch dieſelben zwei feſten Punkte laufen und von deſſen Winkeln einer doppelt ſo groß iſt, als der ihm ent⸗ ſprechende Winkel der peripheriſchen Kreuze. Denn wenn man die Scheitel S mit dem Centrum C ver⸗ bindet, ſo entſtehen gleichſchenkelige Dreiecke mit Außenwinkeln an der Spitze, deren Summe oder Differenz den Centriwinkel bilden, welcher daher das Doppelte der Baſiswinkel iſt.

Alle Peripheriewinkel auf einerlei Bogen ſind alſo einander gleich. Auch wenn eine Gerade des Kreuzes zur Tangente wird, iſt der Winkel noch der⸗ ſelbe, denn PBN= QBA iſt Complement zu DBC und DBC zu A(B.

gen Kreuze, deren beide Gerade durch zwei feſte Puncte laufen, liegen auf der Peripherie eines Kreiſes (die Kreuze ſind peripheriſche).

Beweis Durch die beiden feſten Puncte und irgend einen der Scheitel jener Kreuze iſt ein Kreis und ſomit auch ein centrales Kreuz beſtimmt, von deſſen Winkeln einer doppelt ſo groß iſt, als der ihm entſprechende Winkel des benutzten Kreuzes. Lägen nun die Scheitel der andern Kreuze nicht auch auf der Peripherie dieſes Kreiſes, ſo müßten dieſel⸗ ben entweder außerhalb oder innerhalb des Kreiſes liegen. Für beide Fälle entſtände der Widerſpruch, daß ein Außenwinkel eines Dreiecks eben ſo groß, als ein innerer ihm nicht anliegender ſein müßte. Wäre nämlich für A, B und S der Kreis conſtruiert und O der Scheitel eines der gleichen Winkel außer⸗ halb dieſes Kreiſes, ſo müßte Winkel APB= ASB als Peripheriewinkel und A0B=ASB nach Voraus⸗ ſetzung, alſo APB= AOB ſein, was nicht möglich iſt.

Zuſatz 1. Wenn die Schenkel zweier Winkel durch zwei feſte Puncte gehen, und der Scheitel des einen Winkels innerhalb des andern Winkels liegt, ſo iſt letzterer Winkel kleiner als erſterer. Denn zieht man SV, ſo iſt Winkel ASB= SVB(Außenwinkel); aber SVB= A0B(Außenwinkel); alſo ASB

= AOQB.

Zuſatz 2. Das peripheriſche Kreuz, deſſen Gerade durch die Endpuncte eines Durchmeſſers laufen, iſt rechwinkelig oder was daſſelbe iſt: Alle Peripheriewinkel im Halbkreiſe ſind rechte Winkel. Auch ſind Peripheriewinkel auf demſelben Bogen gleich, und gleiche Peripheriewinkel gehören zu

gleichen Bogen.

§. 104.

Lehrſatz. Parallele Secanten faſſen gleiche Bogen zwiſchen ſich(parallele Tangenten faſſen Halbkreiſe).

Beweis. Da Winkel A,BeA.= B A, B., ſo muß Bogen A.A.= B. B. ſein.

Lehrſatz. Secanten, welche gleiche Bogen zwiſchen ſich faſſen, ſind entweder parallel, oder ſchneiden ſich ſo, doß ihr Winkel von der zugehörigen Centralſecante halbiert wird.

Beweis. Iſt Fig. 1 Bogen A.A,= B. B., ſo iſt Winkel A.B.A,= B. A, B.. Iſt in Fig. 2 und 3 Bogen A. B.= A. B., ſo iſt auch A,B.= A, B., alſo Winkel A, A. B.= A.A. B, daher Dreieck A.SA gleichſchenkelig und daher die Baſis