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liegt P, innerhalb des Kreiſes; die Gerade durch P, muß daher nach beiden Seiten von P aus den Kreis durchſetzen(§. 8); daher zwei Schnittpuncte.

§. Lehrſatz.

eben ſo groß, oder kleiner iſt, als die einer andern, iſt die Sehne der erſten kleiner, eben ſo groß oder größer als die der andern.

Beweis. 1. In den Dreiecken CA,D, und

Je nachdem in einem Kreiſe die Entfernung einer Secante vom Centrum größer,

innerhalb des Kreiſes(weil die beiden Winkel nur einen Binnenraum gemeinſchaftlich haben). Darum iſt die Entfernung des Punctes P vom Centrum kleiner als der Radius.

100.

Lehrſatz. De nachdem in einem Kaeiſe die Sehne einer Secante kleiner, eben ſo groß oder größer iſt, als die einer andern, iſt die Entfer⸗ nung der Secante vom Centrum größer, eben ſo groß, oder kleiner als die der andern.

CA,D., iſt CA.= CA, und Winkel CD.A.=

CD.A,= R. Iſt daher CD= CD, ſo muß(nach§. 86) AD.= AbD und dann auch A.B,

A,B. ſein. Iſt aber A, B.

A:B,, mithin auch A.D.

A.D, ſo muß CD=(D. ſein.

Beweis 2. Sind die Entfernungen(CD einander gleich, oder ſind die Sehnen, alſo auch ihre Hälften gleich, ſo ſind die rechtwinkeligen Dreiecke congruent, alſo in dem einen Falle die Sehnen, im

andern die Entfernungen gleich.

§. 101.

Lehrſatz. Wenn bei einem recht⸗ winkeligen Secantenkreuz die eine Gerade durch das Centrum geht, ſo halbiert ſie die Sehne der an⸗ dern, ſowie deren zugehörige Bogen,

Lehrſatz.

Secantenkreuz die durch das Centrum und durch die Mitte der Sehne der andern geht

Wenn bei einem Lehrſatz. Wenn bei einem eine Gerade rechtwinkeligen Secantenkreuz die eine Gerade durch die Mitte

der Sehne der andern geht, ſo

Centriwinkel, Sectoren und Seg⸗ mente.

Beweis. Die Dreiecke ASC und BSC ſind congruent, daher AS = BS Dann iſt auch Winkel AC = BCE, Bogen AE= BE, auch

(oder deren Bogen, Centriwinkel, Sectoren und Segmente halbiert) ſo iſt das Kreuz rechtwinkelig.

Beweis. Die Dreiecke ASC und BSC ſind congruent(aus 3. Seiten); daraus folgt die Richtig⸗ keit aller Behauptungen.

geht dieſelbe auch durch das Cen⸗ trum(und halbiert Bogen, Centri⸗ winkel, Sectoren und Segmente der andern).

Beweis.(Indirect). Eine die Mitte S mit C verbindende Gerade würde ſenkrecht zu AB in C ſtehen, könnte alſo nicht verſchieden von

AD= BD; Sector ACE= BCE, auch ACD=BCD), Segment ABEA halbiert ꝛc.

der in C errichteten Senkrechten ſein.

§. 102.

Aufgabe. Durch drei nicht in einer Geraden liegende Puncte einen Kreis zu ziehen.

Auflöſung. Ziehe zu den Verbindungslinien je zweier dieſer Puncte die Normalhalbierenden, ſo ſchneiden ſich dieſe im Centrum des geſuchten Kreiſes.

Beweis. AB, DM iſt ein rechiwinkeliges Se⸗ cantenkreuz und MD ſteht ſenkrecht auf der Mitte von AB, alſo geht DM durch das Centrum des

Aufgabe. An drei nicht in einem Puncte ſich ſchneidende Geraden einen Kreis zu ziehen(welcher jede derſelben berührt:

Auflöſung. Ziehe zu den Winkeln je zweier dieſer Geraden die Halbierungslinien, ſo ſchneiden ſich dieſe im Centrum des geſuchten Kreiſes. Der Radius iſt die Entfernung dieſes Centrums von den drei Geraden.(Anmerkung. Es giebt eigentlich vier Auflöſungen).

Beweis. Die Halbierungslinien AM und BM convergieren. Fällt man MD und M ſenkrecht, ſo iſt Dreieck MDB MEB, daher MD= ME. Aus

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