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PA+ CA.= PA,+ CA,& 19); CA.=(A,, daher PA.= PA.. Alſo iſt PA= PA.=

PA,; mithin PA der kürzeſte Abſtand des Punctes.

Ferner iſt B C+(CP= B P; B.C= B0, alſo

auch BP= B. P. Zieht man B. B., ſo iſt Winkel CB, B.=(B, B., daher Winkel CB, P=(B, P (weil der eine von 2 gleichen Winkeln verkleinert, der andere vergrößert worden iſt). Daher iſt in dem Dreieck PB. B, die Gegenſeite(PB.) des größeren Winkels(PB.B.) größer, als die Gegenſeite(PB,) des kleineren Winkels PB. B. Alſo iſt PA dec kürzeſte und PB der weiteſte Abſtand des Punctes P von

des Kreislinie. Anmerkung. näher dieſe an der Centralſecante liegen.

Die Winkel, unter welchen die Secanten den Kreis ſchneiden, ſind um ſo größer, je

§. 98.

Lehrſatz. Wenn zwei durch einen Punct gezogene Secanten(zu beiden Seiten des Centrums gele⸗ gen) gleiche Sehnen haben, ſo ſind ihre homologen Abſtandsſtrecken von dem Puncte gleich, und der Winkel, welchen ſie miteinander bilden, wird durch die Centralſecante halbiert. Das Letztere gilt auch für die zu einem Puncte zugehörigen beiden Tangenten.

Beweis. Dreieck CA,B. ☛ CA.,B,(3 Seiten), alſo Winkel CA,P= CA.,P= R; ferner Winkel CAA.= CA A,alſo auchWinkel PAAe PAzAu, daher PA= PAx. Aus gleichen Gründen iſt (B,=(Ba. Ferner iſt Dreieck CA,P☛ CA« P, alſo auch Winkel (CPA= CPA:.

einen Punct

Beweis.

Lehrſatz. Wenn zwei durch gezogene Secanten homolog gleiche Abſtandoſtrecken haben, ſo ſind ihre Sehnen gleich und ihr Winkel wird darch die Centralſecante halbiert.

Da PB.= PB, und PA,= PA,, ſo iſt auch PB, — PA, oder A,B.=PB,— PAL, oder A, Ba. Auch ſind die Drei⸗ ecke PB. C und PB C congruent, alſo Winkel B.PC= B. PC.

Lehrſatz. Wenn der Winkel zweier durch einen Punct gezogenen Secanten durch die Centralſecante halbiert wird, ſo haben dieſelben gleiche Sehnen und gleiche homologe Abſtandeſtrecken.

Beweis. Da Dreieck CPA, S(CPA:, ſo iſt PA,= PAs; da ferner CPB,(PB,, ſo iſt PB, =PB:; daher auch PB.— PA =PB,— PA,, d. h A.B.= A. B.. Ebenſo iſt auch PA,= PA, und PB=PB;..

§. 99.

Lehrſatz Je nachdem die Entfernung einer Geraden vom Centrum eines Kreiſes größer, eben ſo groß oder kleiner als der Radius iſt, begegnet die Gerade dem Kreiſe in keinem, oder in einem Puncte, oder in zwei Puncten.

Beweis. Da(P,= CaA, ſo liegt P, außer halb des Kreiſes; ebenſo aber auch jeder andere Punct auf M. N, da P, der an C nächſte Punct iſt.(§. 77). Da CP.,=(A, ſo liegt P, auf dem Kreiſe; jeder andere Punct in M.Na aber liegt außer⸗ halb, weil deſſen Entfernung von C größer iſt, als die des Punctes P,, größer als der Radius. Pa iſt daher der einzige Punct der Geradin MN, weicher zugleich auf dem Kreiſe liegt. Da CP,= CA, ſo

Lehrſatz Je nachdem eine Gerade einem Kreis in keinem oder in einem Puncte oder in zwei Puncten begegnet, iſt ihre Entfernung vom Centrum des Kreiſes größer, oder eben ſo groß, oder kleiner als der Radius.

Beweis Da Punct P, außerhalb des Kreiſes liegt, ſo iſt CP.= CæA; ebenſo iſt aber auch jedes anderen Punctes Entfernung= Ca, weil dieſelbe = CP, in. Da P,. auf dem Kreiſe liegt, ſo iſt CP.= CA; jedes anderen Punctes Entfernung von C iſt aber größer, als die des Punctes P., weil er außerhalb des Kreiſes liegt, alſo größer als der Radius Da P, innerhalb der ſpitzen Winkel CM N. und CNMa liegen muß(§. 89), ſo liegt dieſer Punct