3. Kreisſätze. §. 93.

1. Lehrſatz. Eine auf dem Endpuncte eines Radius ſenkrecht ſtehende Gerade trifft den Kreis nur in dieſem Puncte.

Beweis. Nach§. 87 iſt der Endpunct jenes Radius derjenige Punct der Geraden, welcher vom Centrum des Kreiſes die kürzeſte Entfernung hat; jeder anderele Punct der Geraden ſteht alſo vom Centrum um mehr als ein Radius ab und muß daher nach§. 23 außerhalb des Kreiſes liegen.

2. Zuſatz 1. Jede auf eines Radius Endpunct ſenkrecht ſtehende Gerade iſt eine Tangente des Kreiſes.

3. Zuſatz 2. Von zwei Geraden, welche ſich auf der Peripherie eines Kreiſes ſchneiden, iſt ent⸗ weder jede eine Secante, oder es iſt eine eine Tangente, die andere eine Secante.

4. Aufgabe. Zu einem gegebenen Puncte eines Kreiſes die zugehörige Tangente zu ziehen.

Auflöſung. Ziehe den zugehörigen Radius, und errichte auf deſſen Endpuncte eine Serkrechte.

§. 94.

1. Lehrſatz. Wird ein Kreis von einer Geraden geſchnitten(Seeante), ſo bildet dieſelbe mit den zu ihren Schnittpuncten zugehörigen beiden Tangenten gleiche Winkel. Man ſagt die Secante ſchneide den Kreis unter dieſem Winkel.

Beweis. Dieſe Winkel ſind die Complemente derjenigen beiden Winkel, welche die Secante mit den beiden ihr zugehörigen Radien bildet; letztere Winkel ſind aber einander gleich, alſo auch erſtere.

2. Zuſatz. Geht die Secante durch das Centrum, ſo fallen ihre Radien mit ihr zuſammen und die Tangenten werden parallel; die Secante ſchneidet den Kreis rechtwinkelig. Wird die Secante zur Tan⸗ gente, ſo iſt der Winkel ihres Schnittes= Null, der Schnitt iſt alſo nur eine Berührung.

§, 95.

Lehrſatz. Wird ein Kreis von einem andern Kreiſe geſchnitten, ſo bilden die zu den Schnittpuncten zugehörigen Tangentenpaare gleiche Winkel. Man ſagt, die Kreiſe ſchneiden ſich unter dieſem Winkel.

Beweis. Winkel C.AV.= R=(C.A.Va; C.A.A,= C.A.A.. Zieht man beiderſeits ab (Gleiches von Gleichem), ſo bleibt PFA,V.= 0A,Va, daher auch QA,U= PA,U.. Ferner iſt C,A,S.= C.A.8, und CA.A.,= C.AA,, daher wiederum PAS.= QA, S:, daher auch QA T,

1 AU= PA:U., = PA,Ta. Es iſt alſo A n.— bPAIT.

Zuſatz. Für einen beſtimmten Kreis giebt es eine ganze Schaar Kreiſe, welche ihn gleichwinkelig durch⸗ ſetzt; die Mittelpuncte derſelben liegen auf einer Normalen des Tangentenkreuzes. cf.§. 53 u. 66.

§. 96.

1. Aufgabe. Durch einen Punct außerhalb eines Kreiſes eine Tangente an den Kreis zu ziehen.

Auflöſung. Ziehe die Centralſecante PA; ſchlage um C mit dem Durchmeſſer einen Bogen: kreuze dieſen Bogen von P aus mit PC, verbinde C mit dem Bogenkreuz, ſo findet ſich der Berührungs⸗ punct P.

Beweis. Dreieck PGB iſt gleichſchenkelig und die Baſis CB iſt halbiert.

§. 97.

Lehrſatz. Unter allen durch einen Punct in der Ebene eines Kreiſes gezogenen Secanten trifft diejenige den Kreis im kürzeſten und weiteſten Abſtand von jenem Puncte, welche den Kreis rechtwinkelig ſchneidet. Bei jeder anderen Secante iſt der korzere Abſtand um ſo länger und der weitere Abſtand um ſo kurzer, je kleiner der Winkel iſt, unter welchem ſie den Kreis ſchneidet. Bei der Tangente fallen der kürzeſte und der weiteſte Abſtand zuſammen.

Beweis. Es iſt PFA+ CA= PA+ CA,(§. 19); CA= CA, daher PA= PA. Es iſt ferner

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und wenn man addiert, T.AU= T. A,U..