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bildliche Gerade, ſo ſchneidet dieſe ihre Gegengerade unter dem doppelten Winkel des Kreuzes und bildet alſo mit dieſer ein neues Kreuz. Die drei Schnitt⸗ puncte bilden die Ecken eines gleichſchenkeligen Dreiecks, deſſen Spitze der Scheitel des neuen Kreuzes iſt. Von den Winkelhalbierenden des neuen Kreuzes iſt die eine zur Baſis des gleichſchenkeligen Dreiecks parallel, die andere ſteht auf derſelben ſenkrecht und halbiert ſie. Ein Kreis um die Spitze als Centrum mit dem Schenkel als Radius geht durch die Endpuncte der Baſis und hat die gegenbildlichen Geraden als Durchmeſſer. Beweis leicht.
§.
Lehrſätze. 1. Zieht man zu einer Halbie⸗
rungslinie eines Kreuzes eine Parallele, ſo ſchneidet
dieſe auf den Strahlen des Kreuzes gleiche Stuͤcke ab; die andere Halbierungslinie ſteht auf der Paral⸗ lelen ſenkrecht und halbiert die Strecke zwiſchen beiden Strahlen. Zugleich iſt ein gleichſchenkeliges Dreieck beſtimmt, deſſen Spitze der Scheitel des Kreuzes iſt.
Beweis. 1. Da ABGl iſt, ſo iſt Winkel MAB= AMG= LMG= HMB= MBA, alſo iſt R AM gleichſchenkelig und daher AM= BM.
2. Da Winkel GMK= R, ſo iſt auch AKM = R.
Folgerung. Im gleichſchenkeligen Dreieck wird durch die Halbierende des Winkels an der Spitze die Baſis ſenkrecht durchſetzt und halbiert. Die Halbierende des Außenwinkels an der Spitze läuft parallel zur Baſis
2. Verbindet man die Mitte der Baſis eines gleichſchenkeligen Dreiecks mit der Spitze, ſo ſteht dieſe Verbindungslinie ſenkrecht zur Baſis und halbiert den Winkel an der Spitze.
Beweis. Die Dreiecke AKM und BKM ſind congruent.
3. Errichtet man auf der Mitte der Baſis eines gleichſchenkeligen Dreiecks eine Senk⸗ rechte, ſo trifft dieſelbe die Spitze und halbiert den Winkel daſelbſt.
Beweis. Indirect.
ein centrales Kreuz, welches von der zur Sehne zugehörigen Secante gegenbildlich unter ſeinem hal⸗ ben Winkel geſchnitten wird. Das Centrum und die Endpuncte der Sehne ſind die Ecken eines gleich⸗ ſchenkeligen Dreiecks, deſſen Baſis die Sehne und deſſen Spitze das Centrum iſt. Von den Winkel⸗ halbierenden dieſes centralen Kreuzes iſt die eire zur zur Sehne parallel, die andere iſt zur Sehne ſenkrecht und halbiert dieſelbe. Zugleich werden Bogen, Segment und Sector halbiert.
Beweis leicht.
92.
Lehrſätze. 1. Schneidet man auf zwei Strah⸗ len eines Kreuzes, zwei gleiche Stücke ab, ſo iſt die Verbindungslinie ihrer Endpuncte eine Parallele zu einem der beiden Halbierungslinien des Kreuzes, die andere Halbierende ſteht ſenkrecht zur Verbindungs⸗ linie und halbiert ſie. Zugleich iſt ein Kreis be⸗ ſtimmt, deſſen Centrum der Scheitel des Kreuzes iſt.
Beweis. 1. Da AM= BM., ſo iſt Winkel MAB= MBA= BAML= AMG; alſo iſt AB GH.
2. Da Winkel GMK= R, ſp iſt auch AKM = R.
Folgerung. Im Kreiſe wird durch die eine Halbierende eines Durchmeſſerkreuzes die zugehörige Sehne ſenkrecht durchſetzt und halbiert. Die andere Halbierende läuft parallel zur Sehne.
2. Verbindet man die Mitte der Sehne eines Kreiſes mit dem Centrum, ſo ſteht dieſe Verbindungslinie ſenkrecht zur Sehne und halbiert den zugehörigen Centriwinkel.
Beweis. Die Dreiecke AKM und BKM ſind congruent.
3. Errichtet man auf der Mitte einer Sehne eines Kreiſes eine Senkrechte, ſo trifft dieſelbe das Centrum und halbiert den Centriwinkel daſelbſt.
Beweis. Indirect.