31 von jenem Puncte nach jener Geraden gezogen werden können und heißt die Entfernung des Punctes von der Geraden. Jede andere Strecke zwiſchen dem Puncte und der Geraden iſt um ſo länger, je weiter ihr Endpunct von dem Fußpuncte der Senkrechten abſteht.
Beweis. 1. Wäre PA auch ſenkrecht MN, ſo hätte das Dreieck PA zwei Winkel, welche rechte wären, alſo mehr als 2R zur Winkelſumme. Es muß alſo Winkel a ſpitz ſein und PA ſchief auf MN ſtehen.
2. Wenn PO ſenkrecht MN, ſo iſt P= PA= PB= P0 u. ſ. w., weil in dem Dreieck POA der Gegenwinkel von PA der größte, mithin PA die größte Seite; in dem Dreieck PAB aber der Gegenwinkel von PB(nämlich der Nebenwinkel des ſpitzen Winkels) der größte Winkel, PB alſo größte Seite iſt. Gleichzeitig iſt aber auch QA— QB= 0... und Winkel a== p...(a iſt als Außenwinkel des △ APB größer als S, dieſer aus gleichem Grunde— u. ſ. w.); die Nebenwinkel von α, 3,... ſind der Reihe nach jeder folgende größer als der vorhergehende, wenn man von Q aus rechnet.
§. 88.
Lehrſatz. Zieht man nach Puncten der Geraden MN, welche in gleichen Abſtänden beiderſeits von O liegen, Transverſalen aus P, ſo hat jedes derartige Paar ein Paar gleicher Strecken zwiſchen P und MX und trifft die Gerade MN unter gleichen Winkeln(ſpitzen Innenwinkeln und ſtumpfen Außenwinkeln). Je zwei ſolcher Transverſalen ſind gegenbildlich(antiparallel).
Beweis. Da P0A, und POA, zwei rechtwinkelige Dreiecke mit gleichen Katheten ſind, ſo ſind ſie congruent, alſo PFA,= PA, Aus gleichen Gründen iſt PB.= PB, u. ſ. w.
Die Winkel PA, Q und PA,OQ ſind einander gleich und ſpitze und darum ſind auch die Winkel PA B, und PA, B, einander gleich und ſtumpfe.
Zuſatz. Es giebt für P auf der Geraden MX nur je zwei Puncte gleichen Abſtandes, welche zu beiden Seiten von O in gleicher Entfernung davon liegen. Ein Punct(P) kann daher von drei oder mehr Puncten einer Geraden nicht gleiche Entfernung haben.
§. 89.
Lehrſatz. Alle ſenkrechten Strecken aus einer Geraden eines(ſchiefwinkeligen) Kreuzes auf die andere Gerade fallen in den ſpitzen Winkel des Kreuzes.
Beweis. Der Anfangspunct P der Senkrechten, ihr Fußpunct M und der Scheites 8 des Kreuzes bilden die Ecken eines Dreiecks, welches am Fußpuncte M rechtwinkelig iſt; daher muß deſſen Winkel bei 8 ſpitz ſein, dies iſt aber der Winkel, in welchen die Senkrechte PM gefallen iſt.
Zuſatz. Bei jedem ſchiefwinkeligen Kreuz'giebt es für jeden Punct(P) der einen Geraden(CD) eine die andere Gerade(AB) gegenbildlich ſchneidende Gerade PT, welche man findet, wenn man mit PS als Radius einen Kreisbogen ſchlägt, welcher AB in T zum zweiten Male durchſetzt.
§. 90.
Lehrſatz. Zieht man durch irgend einen Punct in der Ebene eines Kreuzes vom Winkel α zu jeder Geraden deſſelben die gegenbildliche Gerade, ſo ſchneiden ſich dieſe gegenbildlichen Geraden unter einem Winkel(q) welcher 2R— 3 oder= 0 oder= 3 v— 2k iſt, je nachdem der Winkel des Kreuzes— zR,= zR oder= A iſt.
Beweis. In Figur 1 und 5 iſt«= R;&= 2R— 3;„„= 3.— In Figur 2 iſt«= R;&= 0;= 2R.— In Figur 3 und 4 iſt«= zR und&= 3— 2R;%)= 4 R— 3.
Der Punct mag innerhalb des ſpitzen oder ſtumpfen Winkels des Kreuzes, oder auf einer Geraden deſſelben liegen, ſo folgt die Behauptung aus der Winkelſumme des Dreiecks überhaupt, ſowie aus dem Satze vom Außenwinkel an der Spitze eines gleichſchenkeligen Dreiecks.
§. 91.
Lehrſatz. Zieht man durch einen Punct einer Lehrſatz. Zieht man durch die beiden End⸗
Geraden eines ſchiefwinkeligen Kreuzes eine gegen⸗ puncte einer Kreisſehne zwei Durchmeſſer, ſo entſteht