30 Alle Dreiecke, in welchen eine Seite und zwei gleichgelegene Winkel bezüglich gleich ſind, ſind congruent.

Anmerkung 2. Liegen die Winkel nicht homolog, ſo können auch die Dreiecke nicht congruent ſein.

§. 84.

Die Zuſätze der§§. 81, 82, 83, enthalten die fünf ſogenannten Congruenzſätze für Dreiecke. Stellt man dieſelben zuſammen, ſo ergiebt ſich, daß zur Congruenz zweier Dreiecke im Allge⸗ meinen drei von einander unabhängige Stücke gehören. Da der dritte Winkel eines Dreiecks Supplement der Summe der beiden anderen iſt, ſo iſt er von deren Größe abhängig, und daher können die Winkel eines Dreiecks allein keine Eongruenz beſtimmen.

§. 85.

Lehrſatz. Wenn ein Paar Seiten eines Drei⸗ Lehrſatz. Wenn ein Paar Seiten eines Drei⸗ ecks einem Paar Seiten eines anderen homolog gleich ſecks einem Paar Seiten eines anderen homolog gleich iſt, die Gegenwinkel der dritten Seiten eber iſt, die dritten Seiten aber ungleich ſind, ſo ſind ungleich ſind, ſo ſind auch die dritten Seiten homo⸗ auch die Gegenwinkel der dritten Seiten homo⸗

log ungleich. log ungleich.

Vorausſetzung. A.C= AC⸗; B.C= Vorausſetzung. A,C.= A, C,; B.0.= B:C⸗; P.„“:. B2C:; A.B.= A:B..

Behauptung. A.B.= A, Ba. Behauptung.„= 7.

Beweis. Man lege die Dreiecke ſo aufeinan⸗ Beweis. Man lege die Dreiecke ſo aufeinan⸗

der, daß die Seiten AC zuſammenfallen, ſo muß der, daß die Seiten zuſammenfallen, ſo müſſen die (B innerhalb des Winkel„e liegen. Dann ſind beiden einfach gebrochenen Linien CB A und CB, A (B. A und(B ⸗A zwei einfach gebrochene Linien(weil ſie bei gleichen homologen Seiten CB aber zwiſchen C und A, in verſchiedener Lage, bei ungleichen homologen Seiten CA ungleich groß ſind), welchen CB.=(B,. iſt; es muß daher AB= in verſchiedener Lage ſein, d. h. es kann nicht CB. AB; ſein(da die Summe CB,+ AB,=(B.+ anf(B, fallen und zwar muß(B, auf diejenige

AB iſt)(vergl.§. 19). Seite von CB, fallen, auf welcher Punct A liegt (weil AB.= AB, iſt); daher muß Winkel„— pye ſein.

§. 86.

Lehrſatz. Wenn eine Seite und ihr Gegenwinkel in einem Dreieck einer Seite und deren Gegen⸗ winkel in einem andern Dreieck gleich ſind, eine zweite Seite des erſten Dreiecks der entſprechenden Seite des anderen Dreiecks ungleich iſt, ſo iſt die dritte Seite des einen der dritten des anderen ent⸗ gegengeſetzt ungleich, ſofern von den beiden anderen Gegenwinkelpaaren jedes kleiner als 2R iſt.

Beweis. Lege die beiden Dreiecke mit ihrer gleichen Seite ſo aneinander, daß die ungleichen Seiten an einander ſtoßen und verbinde die Scheitel der gleichen Winkel, ſo iſt, da AC,= AC, iſt, Winkel AC.C,= AC.Ca; daher muß Winkel BC.C.= B. C. und darum auch B0.— B0, ſein.

Zuſatz. Rechtwinkelige Dreiecke mit gleicher Hypotenuſe und einem unglleichen Kathetenpaare haben das andere Kathetenpa ar entgegengeſetzt ungleich.

2. Die Senkrechte von einem Punct auf eine Gerade und die ſchrägen Strecken. Die gegenbildliche Gerade und das gegenbildliche Kreuz. Das gleichſchenkielige Dreieck und das centrale Kreuz des Kreiſes nebſt ſeiner Sehne. §. 87.

Lehrſatz. Von einem Puncte kann auf eine Gerade nur eine Gerade ſenkrecht gefällt werden; die Strecke derſelben zwiſchen dem Puncte und der Geraden iſt die kürzeſte unter alleu Strecken, welche