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Zweiter Fall. Der gegebene Winkel(a) ſoll Gegenwinkel der einen(B0) der beiden gegebenen Seiten ſein.

Beweis. Man lege den gegebenen Winkel(a) hin, trage die eine der Strecken(AB) deren Gegen⸗ winkel er nicht werden ſoll, auf einem Schenkel vom Scheitel aus ab, faſſe die andere Strecke(BC) in den Cirkel und beſchreibe um den freien Endpunct der erſten als Mittelpunct einen Kreis. Trifft dieſer Kreis den anderen Schenkel des Winkels oder berührt er denſelben, ſo iſt eine Löſung der Aufgabe mög⸗ lich, außerdem nicht. Für den Fall, daß der Kreis den Schenkel durchſchneidet, ergeben ſich zwei Dreiecke(ABC, und ABC,), welche beide der Aufgabe genügen; dieſelben unterſcheiden ſich im Gegen⸗ winkel(„) der an den Schenkel des gegebenen Winkels angelegten gegebenen Seite, welcher in dem einen ein ſpitzer („1) in dem anderen ein ſtumpfer(*) Winkel iſt. Wird daher über die Art dieſes zweiten Gegenwinkels eine Beſtimmung getroffen, ſo iſt die Aufgabe eindeutig. Trifft der Kreis die Schenkelgerade in zwei Puncten von welchen der eine dieſſeits, der andere jenſeits des Scheitels(von a) liegt, ſo iſt die Aufgabe ebenfalls eindeutig; in dieſem Falle iſt die Gegenſeite des gegebenen Winkels von den beiden gegebenen Seiten die größere(zwei Seiten und der der größeren gegenüberliegende Winkel).

Zuſatz. Alle Dreiecke in welchen zwei Seiten und der Gegenwinkel der einen bezüg⸗ lich gleich ſind, der Gegenwinkel der anderen aber von gleicher Art(ſpitz, recht, ſtumpf) iſt, ſind con⸗ gruent.(Dritter Congruenzſatz).

Anmerkung 1. Für den Fall, daß der Kreis um B den zweiten Schenkel des Winkels«α berührt (vergl.§. 93) fallen die Puncte C, und C, auf eine und dieſelbe Stelle und unterſcheiden ſich nicht von einander.

Anmerkung 2. Iſt die Seite, deren Gegenwinkel der Größe nach gegeben iſt, die größere der beiden gegebenen Seiten, ſo muß der Gegenwinkel der anderen ein ſpitzer Winkel ſein und alle derartigen Dreiecke ſind alſo congruent, da die Aufgabe jetzt eindeutig iſt. Darum wird der dritte Congruenzſatz oft alſo ausgeſprochen: Zwei Dreiecke ſind congruent, wenn in ihnen zwei Seiten und der der größeren von denſelben gegenüberliegende Winkel bezüglich gleich ſind.

§. 83.

Aufgabe. Aus einer Strecke und zwei Winkeln, welche in Summe kleiner als 2R ſind, ein Dreieck zu conſtruieren.

Auflöſung. Die beiden gegebenen Winkel ſollen entweder beide als Dreieckswinkel an der gegebenen Seite anliegen, oder nur einer derſelben. Beide Fälle ergeben verſchiedene Conſtructionen.

Erſter Fall. Man lege die gegebene Strecke hin, trage den einen der beiden gegebenen Winkel an das eine Ende der Strecke, ſo daß dieſelbe deſſen Schenkel wird, trage ſodann den anderen Winkel in, gleicher Weiſe an das andere Ende. Der Schnittpunct der freien Schenkel iſt die dritte Ecke des Dreiecks.

Beweis. Da die beiden Winkel in Summe= 2AR ſind, ſo werden ihre freien Schenkel Conver⸗ genten, die Aufgabe iſt alſo möglich.

Zuſatz. Alle Dreiecke, in welchen eine Seite und die beiden ihr anliegenden Winkel bezüglich gleich ſind, ſind congruent.(Vierter Congrueuzſatz).

Zweiter Fall. Man lege die gegebene Strecke(AB) hin, trage den einen Winkel() an ihr Ende an, lege an irgend einen Punct X des freien Schenkels den anderen Winkel(p) an, ziehe durch den anderen Endpunct der gegebenen Strecke eine Parallele zu dem freien Schenkel des zweiten Winkels, ſo findet ſich die dritte Ecke des Dreiecks.

Zuſatz. Alle Dreiecke, in welchen eine Seite, ein ihr anliegender und der ihr gegenüber⸗ liegende Winkel bezüglich gleich ſind, ſind congruent.(Füufter Congruenzſatz).

Anmerkung 1. Man kann die beiden letzten Zuſatze in den folgenden Ausdruck zuſammenfaſſen.