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Anmerkung 2. Seiten und Winkel eines Dreiecks ſind alſo von einander in Größe abhängig,

jedoch iſt die Beziehung keine proportionale.

Anmerkung 3. Im ſtumpfwinkeligen und im rechtwinkeligen Dreieck ſteht dem ſtumpfen und rechten Winkel die größte Seite gegenüber; im rechtwinkeligen heißt dieſelbe Hypotenuſe, die beiden

anderen Seiten Katheten.

§. 80.

Lehrſatz. In jedem Dreieck iſt die Summe je zweier Seiten größer als die dritte Seite.

Beweis. Verlängert man eine Seite AB um eine andere CB, ſo daß AC,= AB+ B iſt und verbindet man dann den Endpunct C. der Verlänge⸗ rung mit dem gleichnamigen Dreieckepuncte, ſo iſt im Dreieck BCC. Winkel BC.C= B0C,, daher A0C,C — A0CC,, mithin im Dreieck ACC, die Seite AC, — AC. Es iſt aber AC.,= AB+ B0, daher iſt auch AB+ BC= AC.

Lehrſatz. In jedem Dreieck iſt die Differenz je zweier Seiten kleiner als die dritte Seite.

Beweis. Verkürzt man eine Seite AB um eine andere CB, ſo daß AB,= AB— B iſt und ver⸗ bindet man dann den Endpunct Ca der Verkürzung mit dem gleichnamigen Dreieckspuncte, ſo iſt im Dreieck B0C. Winkel BC,C= B00,(alſo ſpitz), daher ACeC(weil ſtumpf)) A0C, mithin im Dreieck ACC, die Seite AC.= AC. Es iſt aber AC,= AB— B0, daher iſt auch AB— B0C= AC.

— 3§. 81. Aufgabe. Aus drei Strecken, von welchen je zwei in Summe größer als die dritte und in Differenz

kleiner als die dritte ſind, ein Dreieck zu conſtruieren.

Auflöſung. Man lege eine der drei Strecken(AB) in eine Gerade(MXN) ſchlage aus einem ihrer Endpuncte(B) einen Kreis mit der zweiten(B0C) als Radius; ſchlage aus dem anderen Endpuncte(A) mit der dritten(AC) als Radius einen zweiten Kreis und verbinde einen der beiden Kreisdurchſchnitte(C) mit den beiden Endpuncten A und B, ſo entſteht das Dreieck ABC, welches das verlangte Dreieck iſt.

Beweis. Da AB+ B0—

AC(nach Vorausſetzung), ſo iſt auch AB+ BD= Ah, alſo

Punct Daußerhalb des Kreiſes um A. Da ferner AB— B0C— AC, ſo iſt auch AB— BE AF, d. h. AE= AF, alſo Punct E innerhalb des Kreiſes um A. Es muß aſo die Kreislinie um B den Kreis um A durchſetzen. Damit iſt aber die Möglichkeit und Wirklichkeit der Conſtruction des

verlangten Dreiecks dargethan.

Anmerkung. Der Beweis erleidet eine kleine Abänderung, wenn von den Puncten E und PF einer,

oder beide nicht innerhalb der Strecke AB liegen.

Zuſatz. Seitengleiche Dreiecke ſind congruent Erſter Congruenzſatz für Dreiecke).

Beweis. Zwei ſolcher Dreiecke können, mit einem Paare homologer Seiten und ihren Flächen homo⸗ log aufeinander gelegt, nicht mehr in verſchiedener Lage ſein, weil ihre beiden anderen Seiten zwei einfach gebrochene Linien, welche in gleicher Ordnung gleiche Theile haben und auf einerlei Seite der Verbindungs⸗

linie ihrer Fußpuncte liegen, bilden(vergl.§. 20).

§. 82.

Aufgabe.

Aus zwei Strecken und einem hohlen Winkel ein Dreieck zu conſtruieren.

Auflöſung. Der gegebene Winkel kann entweder ſo gelegt werden, daß die beiden gegebenen

Strecken ſeine Schenkel werden, oder nicht. Erſter Fall.

Beide Fälle ergeben verſchiedene Conſtructionen. Man lege den gegebenen Winkel hin, trage auf ſeinen Schenkeln vom Scheitel aus

die beiden gegebenen Strecken ab und verbinde die freien Endpuncte derſelben, ſo erhält man das Dreieck.

Beweis.

Das erhaltene Dreieck hat die gegebenen Stucke. Die Aufgabe iſt allezeit möglich.

Zuſatz. Alle Dreiecke, in welchen zwei Seiten und der Gegenwinkel der dritten bezüglich

gleich ſind, ſind congruent(Zweiter Congruenzſatz).