Lehrſatz. Sind die drei Seiten eines Drei⸗ ecks einander gleich, ſo ſind auch die drei Winkel einander gleich.

Beweis. Denkt man ſich das Dreieck ABC, in welchem a= b= c iſt, um den Winkel α um⸗ geſchlagen und in dieſer umgekehrten Lage auf die vorige Stelle gelegt(ſo daß alſo«α mit verwechſelten Schenkeln auf ſich ſelbſt fällt), ſo muß weil c=b iſt, Punct B in die frühere Lage von C und C in die frühere Lage von B, ſomit aber auch Seite B0 mit verwechſelten Endpuncten in die vorhinnige Lage kommen. Das Dreieck nimmt ſonach auch in dieſer neuen Lage ganz dieſelbe Stelle ein, wie frü⸗ her. Es muß alſo Winkel 2= ſein. Wiederholt man das Umlegen an einem anderen Winkel, z. B. an 5, ſo zeigt ſich, daß«= ſein muß, daher ſind alle drei Winkel einander gleich.

Folgerung. Sind zwei Seiten eines Dreiecks einander gleich, ſo ſind auch deren Gegen⸗ winkel einander gleich. Zum Beweiſe lege man das Dreieck um den Gegenwinkel der dritten Seite um und ſchließe wie vorher.

§. 78.

Lehrſatz. Sind die drei Wimnkel eines Drei⸗ ecks einander gleich, ſo ſind auch die drei Seiten einander gleich.

Beweis. Denkt man ſich das Dreieck ABC, in welchem«==/ iſt, um die Seite aum⸗ geſchlagen und in dieſer umgekehrten Lage auf die vorige Stelle gelegt(ſo daß alſo a mit verwechſelten Endpuncten auf ſich ſelbſt fällt), ſo muß, weil „= iſt, Seite b in die frühere Lage von c und c in die frühere Lage von b, ſomit aber auch Winkel « mit verwechſelten Schenkeln in die vorhinnige Lage kommen. Das Dreieck nimmt ſonach auch in dieſer neuen Lage ganz dieſelbe Stelle ein, wie früher. Es muß alſo Seite b= c ſein. Wieder⸗ holt man das Umlegen an einer anderen Seite z. B. an b, ſo zeigt ſich, daß a= c ſein muß. Da⸗ her ſind alle drei Seiten einander gleich.

Folgerung. Sind zwei Winkel eines Dreiecks einander gleich, ſo ſind auch deren Gegen⸗ ſeiten einander gleich. Zum Beweiſe lege man das Dreieck um die Gegen ſeite des dritten Win⸗ kels um und ſchließe wie vorher.

Im gleichſchenkeligen Dreieck ſind alſo die Winkel an der Grundlinie gleich. Der Außenwinkel an der Spitze iſt das Doppelte jedes Baſiswinkels; ſeine Halbierungslinie lauft der Baſis parallel. §. 79.

Lehrſatz. Ungleiche Seiten eines Dreiecks haben auch ungleiche Gegenwinkel, der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber.

Vorausſetzung. B0C= AC.

Behauptung.= S.

Beweis. Halbiere den Außenwinkel an der Ecke C(der gemeinſamen von a und b), mache CB. =(B, ſo iſt BB.,(D. Nun iſt GB, oder (B= CA, alſo liegt A auf B, jenſeits B, daher die Seite BA außerhalb des Winkels CBB, und Winkel„ iſt alſo größer als CBB, d. h. größer als ¾(+ 9), mithin muß a kleiner als 4(+ 9) alſo α— ſein.

Lehrſatz. Ungleiche Winkel eines Dreiecks haben auch ungleiche Gegen ſeiten, dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber.

Vorausſetzung. αχ—„.

Behauptung. B0C= AC.

Beweis. Halbiere den Außenwinkel an der Ecke C, ziehe BB.(D, ſo iſt Winkel CB. B=(BBI. =(+ 9) und CB.=(B. Nun iſt CBB, oder (¶+ 9) kleiner als 6(weil von zwei ungleichen Dingen das kleinere kleiner als ihre halbe Summe ſein muß), alſo liegt Seite BA außerhalb des Win⸗ kels, daher Punct A auf CB jenſeits B. und Seite(A iſt alſo größer als CB, mithin auch größer als CB, oder was daſſelbe iſt BC= AC.

Anmerkung 1. Für ungleiche Winkel läßt ſich auch noch folgender Beweis führen. Trage«α auf 2 ab((BE= a), halbiere den Reſt, EBD= ABD= 1(— a), ſo iſt CBD= ᷣ+(6—) = 1(α+ p). Nun iſt CDB als Außenwinkel des Dreiecks DAB der Summe+ DBA gleich, d. h.

CDB= ᷣ+ ¾((—)= 1 ,(α+ 9). und da CD=(A ſo iſt auch BC= AC.

Daher iſt das Dreieck C0B gleichſchenkeiig, CD= CB

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