Auflöſung. Schneide MN mit PA als Radius in A und B, ſchlage AD= BD und ziehe PD, ſo in PQ eine Senkrechte auf MN.

Beweis. Schlage PBD um, ſo fallen PBD und PAD zuſammen, alſo auch B0 und A0, alſo auch Winkel PQ0B und POA, welche alſo einander gleich ſind. Da nun A ein geſtreckter Winkel iſt, ſo iſt POB= AQB= m= R.

§. 30.

Erklärung. Die Entfernung zweier gleichweit vom Scheitel eines Winkels abſtehenden Schenkel⸗ puncte heißt die Schenkelweite für dieſen Abſtand(z. B. CD oder P0:c.). Die Schenkelweite eines Winkels kann auch als Kreisſehne angeſehen werden, wenn der. Scheitel des Winkels(S) als Centrum und die Abſtandsſtrecke(SC oder SD) Radius des Kreiſes iſt.

§. 31.

Aufgabe. An eine gegebene Gerade einen gegebenen Winkel anzutragen.

Auflöſung. Man ſchneide auf den Schenkeln des Winkels vom Scheitel aus(mit gleicher Zirkel⸗ offnung) gleiche Stücke ab, trage dieſe Entfernung auf der gegebenen Geraden von irgend einem Puncte aus ab, und ziehe um dieſen Punct mit derſelben Zirkelöffnung einen Kreisbogen. Alsdann meſſe man die Schenkelweite des gegebenen Winkels für dieſe Entfernung und trage dieſelbe auf jenem Kreisbogen von der Geraden aus ab und verbinde den entſtehenden Schnittpunkt(das entſtehende Bogenkreuz) mit dem Centrum des erſten Bogens, ſo bildet dieſe Verbindungslinie mit der gegebenen Geraden den gegebenen Winkel.

Beweis. Wenn man die beiden Winkel aufeinanderlegt, und dabei den Scheitel S, auf S. und den Schenkel S.C, auf 820C⸗ fallen läßt, ſo muß, weil SC.= 8C, iſt, der Abſtandspunct C. auf C. fallen. Da nun die Schenkelweite D.C. der Schenkelweite DeC. gleich und auch die Abſtände SD. und 8D, einander gleich ſind, ſo hat man zwei einfach gebrochene Linien zwiſchen den Fußpuncten 8 und C, deren Theile in derſelben Ordnung gleich ſind. Dieſe beiden gebrochenen Linien können daher nach§. 20 nicht von einander verſchieden ſein und deßhalb muß die Gerade 8.D. auf S.D. fallen. Da nun in dirſer Lage die beiden Winkel(c. und*) mit ihren Scheiteln und Schenkeln zuſammengefallen ſind, ſo ſind dieſelben einander gleich, mithin iſt die Löſung der Aufgabe richtig.

§. 32.

Zuſatz Corollarium). Winkel mit gleicher Schenkelweite(für gleiche Abſtände) ſind gleich (oder ergänzen ſich zum vollen Winkel).(ſiehe vorige Figur.)

Vorausſetzung(Hypotheſis). S.0.= 82C:; S1D.= 82D:; C.D= CaDz.

Behauptung(Theſis). Winkel C.SID=(GC282Dz.

Beweis. Man lege Winkel C,S.D. auf C.S.D, ſo daß 8. auf 82, 81C, längs 82Ca fällt, ſo muß C, auf C. und wegen§. 20 D, auf D. fallen, woraus die Gleichheit der Winkel folgt.

§. 33.

Lehrſatz. Gleiche Winkel haben gleiche Schenkelweite für einerlei Schenkel⸗Abſtände.

Beweis. Wenn(vorige Fig.) der Winkel C.S.D. dem Winkel C.SeD) gleich iſt und die Abſtände 8C und SD gleich ſind, ſo muß, ſobald man die beiden Winkel aufeinanderlegt, Punkt C. auf C:, ſowie D. auf D,. fallen. Daher iſt die Entfernung von C. nach D. eben ſo groß, als die von C. nach D:, d. h. die Schenkelweite C.D iſt der Schenkelweite C. D. gleich.

§. 34.

Lehrſatz. Von ungleichen Winkeln hat der größere eine größere Schenkelweite.

Vorausſetzung. 810,= 8202; 81D.= S.D.; Winkel C.SD.=(:S.D..

Behauptung. C.D.=(zD..

Beweis. Man lege die beiden Winkel mit den Abſtänden 8C aufeinander, ſo fällt SD, außerhalb

2*