Drei Puncte beſtimmen drei Gerade. Vier Puncte beſtimmen ſechs Gerade. Fünf Puncte beſtimmen zehn Gerade. 6. Sechs Puncte beſtimmen fünfzehn Gerade.

S

n) n Puncte beſtimmen n.(n- 1) Gerade. 4 2

Drei Gerade beſtimmen drei Puncte. Vier Gerade beſtimmen ſechs Puncte. Fünf Gerade beſtimmen zehn Puncte. S ech s Gerade beſtimmen fünfzehn Puncte.

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n) n Gerade beſtimmen n.(n- ¹) Puncte. 1.2

Anmerkung. Die Lage von Puncten, Linien, Flächen, Kreiſen, Winkeln u. ſ. w. kann auf ſehr

mannigfaltige Weiſe beſtimmt werden.

2. Strecken und gebrochene Linien. §. 17.

Forderung(Poſtulat.) Eine gegebene Strecke um eine andere gegebene Strecke zu verlängern, d. h. in ihrer Richtung fortzuſetzen, und zu verkürzen d. h. ein gegebenes Stück abzuſchneiden.

Geſchieht mittelſt des Zirkels und Lineals.

§. 18.

Erklärung(Definition.) Mehrere Strecken, welche der Reihe nach mit ihren Endpuncten an⸗ einanderſtoßen, ohne eine einzige Gerade auszumachen, bilden eine gebrochene Linie; der erſte und letzte Beſtandtheil können auch Strahlen ſein. Hat eine gebrochene Linie nur zwei Beſtandtheile, ſo heißt ſie einfach gebrochen; die gebrochene Linie kann auch als Streckenverbindung angeſehen werden; es bedarf dazu wenigſtens dreier Punkte, zwiſchen welchen drei einfach gebrochene Linien möglich ſind.

§. 19. Grundſatz(Axiom.) Die Strecke zwiſchen zwei Puncten iſt kürzer als jede gebrochene Linie

und kürzer als jede Curve zwiſchen denſelben.

Lehrſatz(Theorem.) Zwei verſchiedene einfach gebrochene Linien zwiſchen zwei Gränz⸗ onncten, auf einerlei Seite der Verbindungsgeraden jener Puncte gelegen, können nicht in glei cher Ord⸗

nung gleiche Theile haben. Beweis.

Die Beſtandtheile ſolcher zwei gebrochenen Linien durchkreuzen ſich entweder gar nicht(ſo

daß die eine die andere überſpannt), oder ein Paar wechſelnamiger Beſtandtheile durchkreuzt ſich, das

andere dagegen nicht. Erſter Fall.(Fig. 1 u. 2.)

Man verlängere in Fig. 1 u. 2 die Strecke AC, bis zum Durchſchnitt mit BC, in S.

Es iſt die gebrochene Linie AC,S größer als die Strecke A8; es iſt ferner die gebrochene Linie B8C, größer als die Strecke B02. Faßt man nun die beiden gebrochenen Linien A0:S und BS6C, zu⸗ ſammen, ſo iſt ihre Summe größer, als die Summe der beiden Strecken As und BC. Die vier Stücke der beiden gebrochenen Linien AC,S und BS8C; bilden aber, in anderer Ordnung vereinigt, die zwei Strecken A0, und B0, nebſt der Strecke C.S. Die Summe der Strecken AS und BCo beſteht aus den beiden Strecken AC und B0 nebſt der Strecke

Zweiter Fall(Fig. 3 u. 4.)

Es ſei S der Durchſchnitt der Beſtandtheile AC, und B0.

Es iſt die gebrochene Linie ASC, größer als die Strecke AC; es iſt ferner die gebrochene Linie BSC größer, als die Strecke BC. Faßt man nun die beiden gebrochenen Linien ASC, und B80, zuſammen, ſo iſt ihre Summe größer als die Summe der beiden Strecken AC, und BCa. Die vier Stücke der beiden gebrochenen Linien ASC, und BSC, bilden aber, in anderer Ordnung vereinigt, die zwei Strecken AC, und BC. Eine in beiden Summen gemeinſam vorkommende Strecke, wie C.S in Fig. 1 u. 2 findet ſich hier nicht vor und es iſt