12 §. 4.

Die Stelle, von welcher aus ein Punct ſich bewegt, iſt der Anfangspunct der erzeugten Linie. Die Bewegung kann endlos gedacht werden, ihr Anfang kann auch beliebig weit, alſo auch unendlich weit zurück⸗ verlegt gedacht werden(anfangs⸗ und endloſe, unbegränzte Linie).

Wo die Bewegung beginnt und wo ſie endigt, da ſind die Gränzen der Linie(Anfangs⸗ und End⸗ punct, beide zuſammen oft Endpuncte genannt). Die Menge der Ausdehnung zwiſchen Anfang und Ende iſt die Größe der Linie, Länge genannt. Jede Linie iſt theilbar, ihre Theile ſind ebenfalls Linien. Länge iſt die einzige Ausdehnung, welche einer Linie zukommt. An jeder Stelle im Verlauf einer Linie liegt ein Punct. Die Anzahl der Puncte innerhalb einer Linie iſt unendlich groß, einer liegt dem andern unendlich dicht an. Je mehr Puncte im Verlaufe einer Linie bekaunt ſind, deſto genauer iſt dieſelbe beſtimmt. Der erzeugende Punct beſchreibt alle Puncte der Linie, daher iſt ſie durch ihn v ollſtändig beſtimmt.

§. 5.

Die Bewegung eines Punctes kann nach einer beſtimmten Stelle hin gerichtet ſein; der entſtehende Weg(Linie) iſt alsdann von einfachſter Geſtalt und heißt eine gerade Linie(Gerade). Das Bildungs⸗ geſetz einer Geraden liegt alſo in der Unveränderlichkeit ihrer Richtung. Zu ihrer Beſtimmung bedarf es alſo eines ihrer Puncte und ihrer Richtung, welche auch durch einen zweiten Punct, den ſie durch⸗ laufen ſoll, gegeben ſein kann.

Merkmal einer Geraden iſt alſo, daß ſie, in zweien ihrer Puncte feſtgehalten und nun in umlaufende (auf der Stelle rotierende) Bewegung verſetzt, ihre Lage im Raume unverändert beibehält, womit zugleich das weitere Merkmal zuſammenhängt, daß jedes beliebige Stück einer Geraden überall ganz mit ihr zu⸗ ſammenfallen muß, wenn man es mit zweien ſeiner Puncte an beliebiger Stelle in ſie hineingelegt denkt. Zwei Puncte reichen daher aus, um die Lage einer Geraden in ihrer ganzen Ausdehnung zu beſtim⸗ men. Die Ausdehnung einer Geraden zwiſchen zwei Puncten heißt die Entfernung jener Puncte, das Linienſtück zwiſchen denſelben heißt Strecke und iſt unter allen Linien zwiſchen jenen zwei Puncten die kürzeſte. Eine Strecke iſt beſtimmt durch ihre Endpuncte, oder durch Größenvergleichung mit einer andern Strecke(Meſſung); im letzteren Falle wird die Strecke zum Zahlbegriff. Strecken, welche zur Meſſung anderer dienen, heißen Längenmaaße. Sie ſind die Gemäße für die zu meſſenden Strecken; der Zahlaus⸗ druck einer Strecke, welche durch eine andere gemeſſen iſt, heißt das Maaß dieſer Strecke. Man kann jede Strecke verlängern, wenn man ſie über den einen oder den andern, oder über beide Endpuncte in der⸗ ſelben Richtung fortſetzt, ſo daß die Zuwächſe mit der urſprünglichen Geraden nur eine einzige Gerade bilden. Eine nur einſeitig, durch einen Gränzpunct begränzte Gerade heißt ein Strahl. Ein Strahl hat alſo nur einen Anfangspunct, keinen Endpunct; man ſagt, er laufe von dieſem Puncte aus.

§. 6.

Wenn eine Linie in jedem Puncte ihres Verlaufs eine andere Richtung hat, ſo iſt ſie eine Curve krumme Linie.) Die Richtungsänderungen machen die Krümmung der Curve aus. Die Krümmung einer Linie kann regelmäßig oder unregelmäßig ſein. Regelmäßige Krümmungen können durch ihr Bildungsgeſetz beſtimmt werden. Bei unregelmäßigen Krümmungen zerlegt man ſich die Linien in kleinere Stücke, deren Krümmung man als regelmäßig anſieht(näherungsweiſe Beſtimmung). Linien, welche aus geraden und krummen Beſtandtheilen zuſammengeſetzt ſind, heißen gemiſchte Linien. Von Linien, welche ſich durchſetzen, ſagt man ſie ſchneiden ſich; ihr Schnitt geſchieht in einem gemeinſamen Puncte, dem Durchſchnitts⸗ puncte(Schnittpunct.)

§. 7.

Eine Linie, welche ſich bewegt, beſchreibt im Allgemeinen eine Fläche.(Wann nicht?) Dieſe Be⸗ wegung kann viel oder wenig betragen und auf mannigfaltige Weiſe geſchehen. Daher kann auch die Fläche nach Lage, Größe und Geſtalt betrachtet werden. Die Fläche iſt theilbar, ihre Theile ſind ebenfalls Flächen.