— 30— D= 2&(Be) 0,

während wir in

B,(9)= 0

die Stammgleichung mit den verschiedenen Wurzeln und„“ haben. Nun ist hier, wenn man durch

4= /1+ 12 ⅓ B= 213— 721,. † 2 /3 die bekannten zugehörigen Invarianten 2ter und 3ter Ordnung bezeichnet,

D.— X044*— B)

D.=— 4(2/½— 8½ 4+£ 9/2)=— 3(4½ 4+ B), D.=— 8½½, und B(O)=— 8½ ꝙ+ 12 1— 4/½= 0. Also folgt

AàA(E)= 1443— 128 ³, und nach entsprechender Umformung der letzten der obigen Bedingungs- gleichungen hat man den Satz:

Bei einer biquadratischen Gleichung sind die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Ewistenz zweier verschiedener Wurzeln mit den Ordnungen a, und e die, daſs

D.= 0, D.= O, 8(4— 412) 2+ 9414273= 0,

und diese Wurzeln werden geliefert durch die Stammgleichung Sf29νν— 12/1 9+ 4/½= 0.

Es besitzt demnach die biquadratische Gleichung dann und nur dann 2 Doppelwurzeln, wenn

76= 0, ‿ 0, 46= und diese Doppelwurzeln sind reell und konjugiert komplex, je nachdem &(Ba), oder, was jetzt auf dasselbe hinauskommt,— ½ positiv oder

negativ ist; die Gleichung besitzt dann und nur dann eine 3-fache und eine 1-fache Wurzel, wenn

8½+ 27Gh= 0, ½ 0, Da— D.= 0, welche Bedingungen wieder den anderen

4= 0, B= 0,+0