— 29—

Reihenfolge stehen bleiben, daſs aber nicht zwei aufeinander folgende Hauptunterdeterminanten dieses neu geordneten Systems verschwinden*). Bezeichnet man diese Hauptunterdeterminanten dann der Reihe nach durch Ai, Xs,..., Oc, so gilt der Satz:

Bei reellen Koefficienten ist(die Anzahl der imaginären Wurzelpaare der Stammgleichung oder, was dasselbe ist,) die An- zahl der verschiedenen konjugiert imaginären Wurzelpaare der ur- sprünglichen Gleichung gleich der Anzahl der Zeichenwechsel in der Reihe

1, Al, A2,„ S. 2. Unter Benutzung von(5) erhält man für die Ordnungen a1, 42,... 2 die beiden Gleichungen

21+ 12++ 70= n p² ‧— 1 4142.46= A.) Diese Bemerkung bietet in sofern ein gewisses Interesse, als man sich leicht überzeugt, daſs o positive ganze Zahlen durch Angabe ihrer Summe und ihres Produktes in vielen Fällen, z. B. immer dann, wenn diese Summe die Zahl 11 nicht überschreitet, vollständig bestimmt sind (vergl. S. 11). Man darf daher sagen: Sobald die Ordnungen du, 12,..., do der o verschiedenen Wurzeln einer algebraischen Gleichung nten Grades durch Angabe ihres Produltes vollständig bestimmt sind— und dies ist stets der Fall, sobald n= 12,— besteht die notwendige und hinreichende Be- dingung dafür, daſs diese o verschiedenen Wurzeln von F9)= 0 die vorgeschriebenen Ordnungen Jui, 12,.. 1e besitzen, darin, daſs De- 1= 4142.. e-A(Bo), d. h. darin, daſs die(20— 1)“°Potenz der letzten nicht verschewinden- den Hauptunterdeterminante Do des Systems(s+) gleich dem Produlte aus jenen Ordnungen und der Diskriminante der Stamm- gleichung(3) ist. So besitzt z. B. die biquadratische Gleichung FO)= I 29% † 9+ 4= 0O dann und nur dann 2 verschiedene Wurzeln und“ von bez. den Ord- nungen 41 und 42, wenn D.= DB= O und

*) Vgl. Frobenius, Berl. Sitzungsberichte 1894, S. 247.