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Sind insbesondere die Gleichungskoefficienten ganze rationale Funk- tionen von x, der von„“ gleich 1, sind also i, e,...,„ lauter ganze algebraische Funktionen von x, so sind die Potenzsummen 6,+: lauter ganze rationale Funktionen von æ. Dann aber kann, indem man die von Kronecker im 107. Bande des Journals für Mathematik für ganzzahlige Systeme gegebenen Vorschriften auf den jetzt vorliegenden Fall aus- dehnt, das System(s,+:) durch die elementaren Transformationen in ein Diagonalsystem

64 0 00.0 0 Q. 0h... 0 0 0O O... e,

verwandelt werden. Dieses System ist dem ursprünglichen Systeme(s+) äquivalent, besitzt also mit ihm die gleichen Elementarteiler und diese sind, da seiner Entstehungsweise nach ⁴⁴ έ= 0(mod. ex), die Elemente ei, Q2,..., en selbst. In Verbindung mit dem zuerst ausgesprochenen Satze führt diese Bemerkung zu dem Korollar:

Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daſs unter den n konjugierten ganzen algebraischen Fanktionen„i, Je,..., JIn von æ an der Stelle= a genau o verschiedene Werte sich finden, ist die, daſs der(ꝗ+‿ 1)“ Elementarteiler des Sustems(s+.) mod. (x— a) verschwindet, der o' aber nicht, oder auch, was dasselbe ist, daſs in dem obigen DiagonalsYsteme die o ersten Elemente den Faktor( ‧— a) nicht enthalten, während die übrigen durch(— a) keilbar sind.

So ist z. B. für

9ℳ— 243+ 244— a= 0 0 0 0 ² 0 0 0 4(a5— 1) 0 0 0 x⁴(*— 1)

4—

—+₰½ 8 ½—

und es gehört daher zu x= 0 nur ein Wert von und zu x= /1 stets 2 verschiedene Werte von.—

Es ist ohne weiteres klar, daſs die angestellten Betrachtungen sinn- gemäſs auch dann bestehen bleiben, wenn die Gleichungskoefficienten irgend welchem Rationalitätsbereiche angehören, dessen Elemente die Ver- änderliche æ gar nicht enthalten. Wir haben dann einfach den Satz: