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9, 9”,... G sich finden können, ist eine Behauptung, deren Richtigkeit für 9=/— 1 bekannt ist, und deren allgemeine Giltigkeit auf dem Wege der Induktion bewiesen werden kann. Ist dieselbe nämlich richtig für irgend einen Wert von o, so mögen für æ= a etwa a Wurzeln den Wert G) haben, wobei die Möxglichkeit noch vorliegt, daſs auch unter den οα) sich noch gleiche Werte befinden. Dann geht für= a die

Potenzsumme s, über in Xac* und demgemäſs die Determinante

80§-.. 80— 1 S2..§ ee S9 529—1

in D.a)= n 42.. 0[.I 0=— HG)? g= 2..e O- a2 σ

Verschwinden nun auch alle aus(s+) gebildeten Minoren Oten Grades für= a, so muls sicher auch D(a)= 0, mithin mindestens noch ein a) gleich einem) sein, woraus das Gesagte und damit auch die Rich- tigkeit des aufgestellten Satzes folgt.

Da bei der Beweisführung aufser dem Verschwinden sämtlicher Mi- noren(Oo+ 1)„n Grades nur noch das Verschwinden der einen Minore oten Grades D(x) an der Stelle æa benutzt wurde, so kann das Resultat auch noch so ausgesprochen werden:

Die honjugierten Wurzeln„, Ne,..., op nehmen an der Stelle æ= immer dann und nur dann genau 9 von einander ver- schiedene Werte an, wenn an dieser Stelle die Determinanten De*r, De+. ²,... D sämtlich verschewinden, Do aber nicht.

Beiläufig bolgt hieraus noch:

Verschwinden an irgend einer Stelle die Determinanten De, D †,..., D. gleichzeitig, so verschwinden an dieser Stelle alle Minoren o'e Grades des Sustems(s+ ¹),

eine Bemerkung, die von Wichtigkeit sein kann bei der Entscheidung der Frage, ob an der betrachteten Stelle die Determinante D regulär sich verhält oder nicht.

Das Resultat lieſse sich noch etwas einfacher aussprechen, wenn man die betrachtete Gleichung als irreducibel voraussetzen würde. Ich habe es vorgezogen, keinerlei Beschränkungen einzuführen, und so unter anderem auch den Fall mit zu umfassen, daſs die Grölsen hi, he,..., Ye die sämtlichen konjugierten Werte mehrerer durchaus von einander unab- hängigen algebraischen Funktionen von æ sind.