Über die verschiedenen Wurzeln einer algebraischen Gleichung.

(Nach Math. Ann. Bd. 50. S. 241 ff.)

1. Hängt die Veränderliche mit der unabhängigen Variablen x durch eine,— reducibele oder irreducibele— algebraische Gleichung zu- sammen, die in Bezug auf von nten Grade ist, so gilt der Satz:

Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daſs die n konjugierten Wurzeln 9i,"½,..., Yea Jener Gleichung für&= genau von einander verschiedene Werte annehmen, ist die, daſs für æ= alle aus dem System

(s+ 04, 1= 0O, 1, 2,.n— 1¹)

gebildeten Minoren(+‿ñ 1)“Grades verschwinden, die ò'en Grades aber nicht mehr alle;

oder kürzer: Die Anzahl der an der Stelle(·= a) von einander verschiedenen Wurzeln der genannten Gleichung n'en Grades ist gleich dem für æ= à betrachteten Range des Systems(s.+.).

Daſs, falls für= a höchstens 9 der konjugierten Werte von von einander verschieden sind, die vorhin genannte Bedingung notwendig erfüllt sein muls, ist fast selbstverständlich. Bedeutet nämlich M, irgend eine Minore rten Grades des Systems(s+n), so kann M, dargestellt werden als das Resultat der Komposition zweier rechteckigen Systeme aus n Kolonnen under Zeilen, bezw. ausen Zeilen und r Kolonnen, deren Elemente sämtlich solche Potenzen von i, Ne,...“½ sind, die innerhalb jeder Zeile bezw. innerhalb jeder Kolonne stets denselben Exponenten haben. Sobald also ⁸ o ist, muls infolge der Voraussetzung jede Minore rten Grades dieser beiden rechteckigen Systeme mindestens 2 gleiche Reihen enthalten, mithin verschwinden, also nach dem Multipli- kationssatz für Matrizen auch Ma.

Daſs aber umgekehrt, wenn für= a alle Minoren(O+ 1) en Grades des Systems(s+) verschwinden, unter den n konjugierten Werten von „ für= à zunächst höchstens o von einander verschiedene Werte