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Sobald die Orduungen J1, 1²,..., A0 der o verschiedenen Wurzeln einer algebraischen Gleichung nten Grades durch Angabe ihres Produlrtes vollstäindig bestimmt sind— und dies ist z. B. stets der Fall, sobald n= 12 ist—, besleht die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dafs diese verschiedenen Wurzeln die vorgeschriebenen Ord- nungen 11, 12,..., 10 besitzen, darin, daſs

(20) D.= 1. 1 A(Bo) isk. Ehe wir nun die Anwendung unserer Sätze durch das Beispiel der Gleichungen 4*en Grades erläutern, wollen wir unsere Untersuchungen noch nach einer anderen Richtung vervollständigen.

§4.

Die charakteristischen Funktionen D, und B als rationale Funktionen der Gleichungskoefficienten.

Die bei unseren Betrachtungen auftretenden Funktionen Do und B. sind lauter rationale Funktionen von so, Si,..., und da diese Potenz- summen rationale Funktionen der Gleichungskoefficienten do, dr,..., d* sind, so sind es implicite auch die Funktionen D, und B,. Es lassen sich dieselben aber leicht auch explicite als solche darstellen. Dabei wird sich ein interessanter Zusammenhang zwischen diesen Funktionen und der sogenannten Sylvester'schen Determinante ergeben, ein Zusammenhang, der zugleich einen neuen und wesentlich tieferen Einblick in die Be- deutung dieser Determinante gewährt.

Der bequemeren Darstellung und der Anschaulichkeit halber will ich hierbei von dem Falle/= 4 ausgehen, von dem Falle also, daſs

(21) F(G= a a a2 †f a 44= 0 ist. Es liegt in dieser Specialisierung auch schon deshalb keine wesent- liche Beschränkung, weil die hier sich darbietenden Entwickelungen ohne jede Schwierigkeit auf ein beliebiges n übertragen werden können.

Auf die Sylvester'sche Determinante wird man bekanntlich geführt bei der Frage, ob die Gleichung F()= 0 überhaupt mehrfache Wurzeln

besitzt. Für jede solche mehrfache Wurzel mufs ja nicht blofs die obige Gleichung, sondern auch noch die weitere:

(22) F*(9)= 4 09* X 3 a1+† 2 29+† 43= 0

bestehen und die Elimination von aus(21) und(22) führt dann auf eine notwendige Bedingung für die Existenz einer mehrfachen Wurzel.