— 11—

für die Koefficienten d, r,... a, ansehen. Durch Angabe ihrer Summe und ihres Produktes sind aber in vielen Fällen die Ordnungen selbst voll- ständig bestimmt, insbesondere auch bei den kubischen und biquadratischen Gleichungen. Ohne die Allgemeinheit zu beschränken, kann man nämlich die Wurzeln sich stets so geordnet denken, dals

31 Ka2⸗ ist. Bei n= 4 sind dann folgende Fälle möglich: = I, 41= 4; 0= 2, 11+ ½2= 4, 11= 1, 2, — 44= 3. 2, 11 12= 3, 4; 69=3, A+ h+ 4 4, 4=1, 2= 1, 4— 2, 17275= 2; 0= 4, 1+ 12+ 14+ 14=1, 114243 4= 1.

Da bei demselben O das Produkt l11*... 40 stets verschiedene Werte an- nimmt, so sieht man die Richtigkeit der vorhin aufgestellten Behauptung zunächst für die biquadratischen Gleichungen ein. In derselben Weise vorgehend und alle Möglichkeiten in Betracht ziehend, überzeugt man sich aber weiter von der Richtigkeit folgender Thatsache:

o positive ganze Zahlen sind durch Angabe ihrer Summe und ihres Produktes vollständig bestimmt, solange die gegebene Summe

n= 12 ist. Für= 12 findet dies nicht mehr statt, denn es lassen z. B. die beiden Gleichungen 11 ₰+ 12+ 13+ 14= 12 11 42 3 144= 48 die beiden Lösungssysteme(6, 2, 2, 2) und(4, 4, 3, 1) zu. Ich glaubte in den Math. Ann. Bd. 52 S. 115 die allgemeine Gültigkeit des eben ge- nannten Satzes beweisen zu können, Herr A. Hurwitz aber machte mich

durch ein Beispiel(ĩ= 41) darauf aufmerksam, daſs dies nicht der Fall ist. Immerhin aber gilt hiernach doch der Satz: