— 14—

Die letzte Gil. kann leicht übergeführt werden in: (m?»in“Azsin⸗A;)»2²(m?— sinAsin? A,)-

(m— sin? X sinz² A2) + 2v,vem.+. 2viyam?

8² O m für gesetzt wurde. r2 5=— sin?A(sin²A, sin:A,); 9„— sin:Ae(sin?A,+ sin? As); 9=— sin?As(in⸗A.+ sin² A.)

Da die Carosden 91, 92, Sa vnanteig von m sind, so haben alle, den verschiedenen W erten für m entsprechende Kurven, parallele Achsen.

G=(l 5- 5a)“— 45152=— 48in?A sin?Asin?As(sin?A,+ sin?A,+†. sin⸗A;) Die Kurven sind also Ellipsen.— yi= sinzaA,; vz2= sinlA; va= sin-Ag

l)ie Ellipsen haben einen gemeinschaftlichen Ilittelpunkt, den Grebe'schen Punkt. Die Achsen fallen deshalb aufeinander.

—= sin⸗Atsin?Asin2A[m²ſsin?A,+ sin?A,+. sin²Xa)— sin? A sin2 Assinz ,]

Es muss jetzt untersucht werden, ob s einen positiven oder negativen Wert hat. UIm diese Frage zu entscheiden, löst man die Kurvengl. für eine Koordinate, z. B. yi, auf. Der Aus- druck unter dem Wurzelzeichen lässt sich auf die Form Nesin² A- vg sin2 e)ſm(sin?Aisin⸗X, sin? Aa)— sin²A sin⸗Kesin2 A 3l— m(v. sin2A,- Vasin² X2)*

sin?² N1Sin?² Xe Sin 2X, sin2A+ sin² A,+ sin?2 X, — ist mithin positiv und dic Kurvengl. hat die in§ 7 verlangte Form.*)

bringen. Daraus folgt, dass m den Ninimalwert hat. Die Diskriminante

1.=— 3sin Aisin AsinAa; W= sinAtsin Asin A, 11 1— Sese heedesbee 42„ 12(2mctgw.— Sin A sin A sin A.) 3 4 161— 1 8—,— ——— 3 4— S 0 C 00 92* Ssin NismAesin Asctg*w SeoiG2 o aa)

Bedcutet g die Entfernung des Se hwer dHunkts vom Centrum des Umbreises, so ist bekanntlich 8 5 1

r.———— 22 r 2—... — 311— 8osCOSACos.— Daraus folgt: 5——e Die Ellipsen sind mithin ähnlich.

Beispiel III Den Ort des Punktes zu bestimmen, der auf der Verbindungslinic Seines Soitengegenpunkts mit seinem Winkelgegenpunkte liegt. —— 4 1 1

Sind vi, v2, v die Koordinaten des gesuchten Punktes, so sind—,—,— die Koordi- t y2. 2„ 2 sin?A, sinz².X, sin? A;

naten seines Seitengegenpunktes u. 3 5, dlie Koordinaten seines Winkelgegenpunkts y y v3 1 2 53 Diese 3 Punkte liegen in einer Geraden, wenn. 3 3 1 sin?²A; N1— i yt 1 sin?A. v—-—— 3, dl. Ir. Kenn e 3 1 sin? 52 53 r2(Sin A,„in“A.,)+. ve,(sin?A— sin: 1.¹)= pz“(sinz.— sin?A,)— 9 ist.)ie Kurve geht also durch den Schwerpunkt(Koord. 1, 1, 1), dlas Centrum des Inkreises(Koord. din i sin X., vin a) und die Centren der Ankreise(Koord, sin At, sin A2,— sin-. A; sin. Ai,— sin. K?, sin. A3;

— ain A, sin A?, sin.). Da somit 5 Punkte bekannt sind!, so kann sie nach dem Sat⸗ von Pascal konstruiert werden.

——... sin A sin AsinA, 2etgw y sin:A, y.— sin?As, v— sin*a. Die Kurve reduciert sich also auf den Grebe'schen Punkt. Dies war

vyorauszuschen,

74 7

*) Für den obigen Minimalwert von ma, der auf die Form gebracht werden kann, ist