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Ueber die Bestimmung der Elemente eines Kegelschnitts aus den Koefficienten der homogenen Gleichung zweiten Grades.
§ 1. Einleitung. Ilan ist gewölhit, über Fragen aus der analytischlien Geometrie in dem vorzüglichen Werke von-Salmon-Fiedler(analvtische Geometrie der Kegelschnitte) Belchrung zu suchen. Dort findet
das hier gestellte Problem auch seine Erledigung, jedoch sind die betreffenden Untersuchungen
nicht einheitlich in einem basonderen. Napitel zusammengefasst. Dacdurch wird die Uebersicht über
die Ergebnisse natürlich erschwert.— In sehr anregender Weise behandelt ferner Kochler den hier . S 1..—.„„... in Rede stehenden Gegenstand in seinem Lehrbuch: Exercises de géométric analytique et de géométrie supérieure.— Neuerdings erschien in der Zeitschrift für Mathematik und Physik von Dr. Schlémilch
und Dr. Cantor eine höchst schätzenswerte Abhandlung von Professor Dr. Stoll(Einige Methoden der, Bestimmung der Brennpunktskoordinaten und Achsengleichungen eines Kegelschnitts in trime- trischen Koordinaten; Jahrgang 38, Heft 5), dic zum Studium ganz besonders zu. empfehlen ist.— Wenn ich trotzdem das Problem hier aufgreife, So geschicht dies, weil der von mir bei der Lösung eingeschlagene Weg bisher nicht betreten wurde. Ich darf hinzufügen, dass der neue Weg auch zu einigen neuen Resultaten führte. In dieser Bezichung verweise ich z. B. auf die Unter- suchung über die geometrische Bedeutung der Koefficienten..
. Bei der vorliegenden Arbeit, die sich wegen der Beschränktheit des zur Verfügung stehen- den Raumes nur mit den Centralkegelschnitten beschäftigen kann*), dient die homogene Gleichung mit baÄrycentrischen Koordinaten zum Ausgangspunkt der Erörtérungen und erst nachträglich wird zu den gewöhnlichen trimetrischen Koordinaten übergegangen. Bezüglich des Fundamentaldreiecks AIAzAg sind unter den absolüten barycentrischen Koordinaten des Punktes Q die Flächeninhalte der Dreiecke QAiA, OX.Ag. OQAaXt, unter den absoluten trimetrischen Koordinaten die Abstände jenes Punktes von den Dreiecksseiten zu verstehen. Erstere bezeichne ich mit Y, letztere mit X. Es bestchen also die G1.
1Xi= 2 NI;»X,= 2; aXS= 2₰. Wählt man für relative Koordinaten die entsprechenden kleinen Buchstaben,, 80 ist . Ft N. 5.3 31X: 82X.: 83X, 6 wo Statt S1, 2, S lafürlich auch sin X, sing. sinAz gesetzt werden darf. Der Uebergang aus dem éinen System in das andere vollzieht sich mithin durch die Vertauschung von y mit XS, oder von — v. 8 X mit—. .8 § 2. Der Kreis. XIe.. A Sei ein belicbiges Vieleck und spa die Länge der Verbindungslinien Ap Aa. Bedeuten ferner yi, Vz.... vn dlie auf XI, Ag,... An bezogenen barycentrischen Koordinaten (die in Ai, A.,... An angebrachten parallelen Kräften*) eines Punktes O, während P einen ganz
beliebigen Punkt bezeichnet, so besteht die Gl.
.. 2 .. r VI p..* 1) yp PAp 2=——— PO⸗yp 3)
*) Eine ähnliche Bearbeitung der Parabel behalte ich mir für ein späteres Programm vor.
**) Bei dem Dreieck A.A& A; Sind diese Kräfte den Flächen der Dreiecke QArAs, QAAs, QAA pro- porional.. ***) Vergleiche Seite 11 meiner Programmabhandlung: Ueber eiuige merkwürdige Punkte des Vierecks- Homb urg v. d. Höhe 1887.