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2 und OD aus. In dem Dreieck P. 08 ist P, O= 50

+ 3. p.m, also 7 u Nl2=(3. MD)2. Hiernach ist der Radius der Kugel, auf welcher die Fusspunkte der Hlöhen liegen, nur der dritte Theil von dem Radius der dem Tetraeder umschriebenen Kugel.

§. 14.

Dieses Resultat ergibt sich auch leicht, wenn man von der Bestimmung des Radius einer Kugel ausgeht, auf deren Oberfläche die Schwerpunkte der Seitenflächen liegen. Offenbar ist wegen des Parallelismus von Qa QCæ, Fe Fi und Pi P.

die Linie C., dC= 2 12. 14 4 Pi Pz. Die Wiederholung dieser Schlüsse in Betreff der anderen Seiten lässt alsbald er- kennen, dass die Kanten der kleinen Pyramide den Kanten der ursprünglichen parallel sind und den dritten Theil derselben betragen und dass mithin der Radius der umschriebenen Kugel der ersten Pyramide in dem oben angegebenen Verhältniss zu dem Radius der umschriebenen Kugel der zweiten steht. Die Kehnlichkeitspunkte beider Kugeln fallen ebenso wie bei den entsprechenden Kreisen des Dreiecks mit dem Schwerpunkt O und

99=09= 0 MD N, ist, und es findet. also auch hier eine harmonische Theilung

der Axe beider Kugeln statt.

dem Höhendurchschnitt D zusammen, da

§. 15.

Von den genannten Schwerpunkten als Bestimmungspunkten der Kugel ausgehend wollen wir noch die Bedingung aufstellen, unter welcher bei einem ganz beliebigen Tetraeder die Fuss- punkte der Höhen auf deren Oberfläche liegen. Hierzu er- wähnen wir zuvörderst, dass in Fig. IV der Durchschnittspunkt 74 der Linie P. dr und des Dreiecks Qa Q½ Qs der Schwer- punkt dieses Dreiecks und der Punkt Q zugleich Schwerpunkt des kleinen Tetraeders Qr ο Qa ist, sodann dass or, der Mittelpunkt des dem Dreieck Q½ Qs Qa umschriebenen Kreises,

Fig. IV.