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Punkte zusammenfallen, ist der Schwerpunkt der Mittelpunkt einer Kugel, welche durch die Fusspunkte und die Halbirungs- punkte der Höhen und durch die Mittelpunkte der den Seiten- flächen umschriebenen Kreise geht.

§. 13.

Halbirt man zuletzt die Linie D. Qr, den Abstand des Schwerpunktes und des Höhendurchschnitts irgend einer Seiten- fläche, und errichtet im Halbirungspunkt M ein Perpendikel M. Mauf der Ebene, so ist DM= 1P 0, da P M.= 1 p I 0,

3 3 ist; in dem Punkt Mschneiden sich also die in dem Halbirungs- punkten der bewussten Abstände auf den verschiedenen Seiten-

flächen errichteten Perpendikel. Nun ist M. M= 22₰Q

und D. M.=(2 12)*(12* ²): Telte F hf er 2. m

29).:. Mit Rücksicht auf die oben gemachte Bemerkung

bezüglich der Rechtecke aus den Segmenten der Ilöhen folgt hieraus, dass die Abstände des Punktes M von den Fusspunkten der Höhen des Tetraeders und von den Schwerpunkten der Seitenflächen gleich sind, dass also M der Mittelpunkt einer Kugel ist, welche durch die Fusspunkte der Höhen des Tetraeders und die Schwerpunkte der Seitenflächen geht. Zur Bestim- mung des zweiten Durchschnittspunktes dieser Kugel und der Höhe fällt man das Perpendikel MU auf die Höhe und macht DI Uä= UI. so dass I der gesuchte Punkt ist. Mit Hilfe

des Vorhergehenden findet man leicht, dass DuT=„+ 4

ist. Die genannte Kugel schneidet hiernach das obere Segment der Höhe in einem Punkte, der um den dritten Theil des Segmentes von dem Höhendurchschnitt entfernt ist.

Um das Verhältniss des Radius dieser Kugel und des Radius der dem Tetraeder umschriebenen Kugel zu bestimmen, drücken wir den zuletzt genannten Radius P. O durch die Grössen p, m