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Höhendurchschnitts, sowie der oberen Höhensegmente ausge- sprochen ist, existirt auch beim Dreieck in Betreff des Durch- messers e Ge und der entsprechenden Grössen. Auch beim Dreieck führt ein gleiches Verfahren wie im Vorhergehenden

2— 2— ,.² 2

zu dem Resultat: B, Di+ P. D.+ P. D= 3 P Ge — 2

+ 0 Di. Bei dem Tetraeder ist nun die Quadratsumme der

oberen Segmente der Höhen so gross als das Quadrat über dem Durchmesser der umschriebenen Kugel und folglich 4 R²

mit m und„, so ist P. S= 3 und D8S= 322n. da die Linie 001=—2 ist. Nittelst dieser Grössen

findet man aber durch die rechtwinkeligen Dreiecke P.§0

und DSO leicht 0D= N2— 3. p.m und daher durch Substitution dieses Werthes in die vorhergehende Gleichung

12+ p. m= FV. §. 12.

Verbindet man ferner den Punkt O, mit dem Schwerpunkt Q und verlängert diese Linie bis zum Durchschnitt 7' mit der Höhe, so ist offenbar OC ä= 0 7 und 7' der Halbirungs- punkt der Höhe, sowie auch Oe= 0 D., weil 01= C, D ist. Aus den rechtwinkeligen Dreiecken O. T und 00DS ergiebt sich aber

5, †= 6 p † 2 p.„— 2 p.

Da nun bei dem Tetraeder von der vorausgesetzten Be-

schaffenheit die Rechtecke aus den Segmenten der Höhen gleich

sind und daher 05p—+ 2 pem für die vier Seitenflächen stets gleich gross ist, so ist OE 7T' für die sämmtlichen Flächen nur dann von gleicher Grösse, wenn die unteren Segmente der Höhen, mithin die Höhen selbst gleich sind. Also nur bei einem regulären Tetraeder, bei welchem die drei genannten