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Schwerpunkt Q des Tetraeders liegen. Da aber diese Be- hauptung für jede Seitenfläche Geltung hat, so liegen die genannten Punkte des Tetraeders in einer geraden Linie und zwar ist, wie sich leicht beweisen lässt, der letztgenannte Punkt der Halbirungspunkt der Verbindungslinie der zuerst genannten Punkte. Errichtet man nun in C ein Perpendikel, so trifft dieses die Linie OD im Halbirungspunkt, also im Schwerpunkt Q des Tetraeders. Aus dieser Betrachtung ergibt sich alsbald, dass die in den Mittelpunkten C, der bewussten Kreise der vier Seitenflächen errichteten Perpendikel sich in dem Schwerpunkt schneiden. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt der Kugel, welche durch die Halbirungspunkte der Kanten und die Fusspunkte der Höhen der einzelnen Seitenflächen geht. Der Radius derselben ist= V()⸗†(42 5, Hiernach ist also die Summe der Quadrate über dem Radius des einer Seitenfläche umschriebenen Kreises und über der halben, zu der betreffenden Seitenfläche gehörigen Höhe für die vier Flächen constant

§. 11.

Zur Bestimmung des Radius dieser Kugel mittelst des Radius N heben wir zunächst hervor, dass die Verbindungs- linien der Halbirungspunkte zweier Gegenkanten in jedem Tetraeder sich halbiren, wie alsbald aus dem Parallelogramm Fi Fe Fa EFs ersichtlich ist, und dass der gemeiuschaftliche Durchschnittspunkt von jeder Seite um ¼3 der zugehörigen Höhe absteht, also mit dem Schwerpunkt des Tetraeders zusammen- fällt. Bei dem hier vorausgesetzten Tetraeder sind diese Ver- bindungslinien gleich und Durchmesser der Kugel. Diese Kugel entspricht dem bewussten Kreise, wenn man bei demselben die Halbirungspunkte der Seiten und der oberen Höhensegmente als bestimmend ansieht und diese Segmente als die Vertreter der Gegenkanten des Tetraeders annimmt. Unter dieser An- nahme finden ganz verwandte Relationen bei dem Dreieck und dem Tetraeder statt. Aus dem Parallelogramm 0 fa D F.