Fig. III.

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gleich die drei auf je zwei Gegenkanten senkrecht stehenden Geraden. Auch sind dann die Fusspunkte die Durchsehnitts- punkte der Hõöhen der einzelnen Seitenflächen. Ebenso leicht erkennt man, dass wenn drei Höhen sich in einem Punkte schneiden, auch die vierte durch diesen Punkt gehen muss, da unter dieser Voraussetzung die durch zwei Kanten auf die Grundfläche senkrecht gestellten Ebenen auf den zugehörigen Gegenkanten senkrecht stehen. Nimmt man jedoch den Fall an, dass nur eine durch eine Kante auf die Grundfläche senk- recht gestellte Ebene auf der Gegenkante senkrecht steht, so muss auch die durch die Gegenkante und eine, von ihrem End- punkte ausgehenden Höhe gelegte Ebene auf der ersten Kante senkrecht stehen, und mithin müssen die von den Endpunkten

je einer der heiden Kanten auslaufenden Höhen sich jedesmal

schneiden, welche Durchschnittspunkte auf der Senkrechten zwischen beiden Kanten liegen. Hierin finden zugleich die folgenden Fragen ihre Erledigung.

Fassen wir nun das Vorhergehende zusammen, so müssen entweder alle vier Höhen sich in einem Punkte durchschneiden oder es haben nur je zwei Höhen einen Durchschnittspunkt oder es existiren gar keine Durchschnittspunkte, je nachdem der Fusspunkt einer Höhe des Tetraeders mit dem Höhen- durchschnitt der zugehörigen Grundfläche zusammenfällt oder in einer Höhe der genannten Fläche ausserhalb des Höhen- durchschnitts oder in keiner der drei Höhen liegt. Hierbei finde zugleich die Bemerkung Platz, dass derjenige der drei genannten Fälle, welcher für eine der Höhen der Pyramiden eintritt, auch für die drei anderen stattfinden muss. Bei der folgenden Untersuchung werden wir grösstentheils eine Pyramide der ersten Art voraussetzen.

§. 10.

Legt man unter dieser Annahme in Fig. III durch die Höhe P. Dr und die Linie 0(1 D1 der Grundfläche eine Ebene, so müssen in dieser Ebene auch der Höhendurchschnitt D, der Mittelpunkt O der umschriebenen Kugel und der