§. 8.

Bei der Untersuchung in Betreff der dem bewussten Kreise im Dreieck entsprechenden Kugel beim Tetraeder gebrauchen wir zur Bezeichnung der Ecken, der Halbirungspunkte der Kanten, der Schwerpunkte der Seitenflächen dieselben Buch- staben wie beim Dreieck mit fortlaufendem Index, für den Schwerpunkt des Tetraeders, den Mittelpunkt der dem Tetraeder umschriebenen Kugel, den Radius derselben und den Durch- schnittspunkt der Höhen dieselben Buchstaben ohne Index.

§ 9.

Dieser Untersuchung wollen wir erst eine allgemeine Be- trachtung über die verschiedenen Lagen der Höhen eines Tetraeders gegen einander vorausschicken. Es werfen sich hierbei uns die Fragen auf, unter welehen Bedingungen bei einer dreiseitigen Pyramide die vier Höhen sich in einem Punkte durchschneiden, ob eine Pyramide sich construiren lässt, bei welcher drei Höhen einen gemeinschaftlichen Durch- schnittspunkt haben, die vierte dagegen nicht durch diesen Punkt geht, ob eine dreiseitige Pyramide möglich ist, bei welcher immer nur zwei Höhen sich schneiden, ob ein Tetraeder existirt, bei welcher zwei Höhen sich schneiden, die beiden andern nicht, und zuletzt unter welchen Bedingungen bei einem Tetraeder von allen vier Höhen nicht zwei in einer Ebene liegen, also Durchschnittspunkte von Höhen überhaupt nicht vorhanden sind.

Zunächst lässt sich rücksichtlich der ersten Frage leicht darthun, dass die vier Höhen einer dreiseitigen Pyramide sich dann in einem Punkte schneiden, wenn die durch zwei Seiten- kanten senkrecht auf die Grundfläche gestellten Ebenen auf den entsprechenden Gegenkanten senkrecht stehen. Da bei dieser Voraussetzung jede durch eine Kante und eine, von einem ihrer Endpunkte ausgehenden Höhe gelegte Ebene auf der Gegenkante senkrecht steht, also immer je zwei Höhen sich schueiden müssen, so müssen alle diese Durchschnitts- punkte zusammenfallen; in diesem Punkte schneiden sich zu-