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Zähler von x Zähler von y Zähler von 2

¶ a2i2 213 all 213 a11 d12 6 aaz aas a2i aas agi a2s 6(23)

7 232 233 a3l asg 2asi az 7

§. 21. Die homogenen Gleichungen des erſten Grades.

Setzt man in dem Syſtem(21) die Conſtanten a,§,) gleich Null, ſo werden die Gleichungen homogen. Mit etwas einfacher bezeichneten Coefficienten heißen ſie dann: aix+ azy+ a32= 0 bix+ by+ baz= 0(24) OX+ czy+. cgz= 0

Dividirt man durch eine der 3 Variabeln, z. B. durch 2, und ſetzt 2= V,= w, ſo entſteht

2Z alv+ asw+† ag= 0 biv+ baw+ bs= 0(25) civ+ caw+ cg= O Hierdurch wird klar, daß ein Syſtem von 3 homogenen Gleichungen zwiſchen 3 Variabeln eigentlich ein Syſtem von 3 nicht homogenen Gleichungen zwiſchen nur 2 Variabeln repräſentirt. Durch die umgekehrte Subſtitution kann ebenſo Syſtem(25) wieder in Syſtem(24) verwandelt werden. Dieſe Beziehungen beſtehen ganz allgemein zwiſchen einem Syſtem von n homogenen Gleichungen zwiſchen n Variabeln und einem ſolchen von n nicht homogenen Gleichungen zwiſchen nur(n— 1) Variabeln, das eine geht durch die angedeutete Subſtitution leicht in das andere über. Nun können die Gleichungen(25) nur dann zuſam⸗ men beſtehen, wenn die aus zwei derſelben entnommenen Löſungen auch der dritten Gleichung genügen. Die Subſtitution dieſer Löſungen in die dritte Gleichung bringt eine Relation zwiſchen den Werthen a, b und e hervor, in welcher die Bedingung für das gleichzeitige Beſtehen der Gleichungen(25) enthalten iſt. Eine ſolche Bedingungsgleichung wird die Reſultante des Syſtems genannt. Nach dem Geſagten wird durch dieſe Relation auch weiter die Möglichkeit bedingt, daß die Gleichungen des Syſtems(24) zuſammen beſtehen können, und für dieſe ſoll die Bedingungsgleichung jetzt aufgeſtellt werden. Zu dem Ende ſetzen wir in den Löſungen(22) die Conſtanten= 6=„= 0 urnd für den gemeinſamen Nenner den Werth D, d. h. die Determinante der Coefficienten des Syſtems. Dadurch wird D. Xx= O0, D. y= 0, D. 2z= 0. Sollen dieſe 3 Gleichungen zugleich beſtehen, ſo muß nothwendig D= 0(26) ſein, weil die andere Annahme, daß X und y und zugleich Null ſeien, unzuläſſig iſt, indem dadurch das ganze Syſtem(24) verſchwinden würde. Hieraus leiten wir den ſo wichtigen Satz ab n homogene lineare Gleichungen zwiſchen n Variabeln können nur dann zuſammen beſtehen, wenn die Determinante ihrer Cosfficienten gleich Null iſt. Die Auflöſung ſolcher Gleichungen vollzieht ſich leicht nach den Formeln(22), wenn ſie vorher in nicht homogene umgewandelt werden.

§. 22. Einige Beiſpiele. 1. Eine Determinante der dritten Ordnung ſoll nach§. 5 berechnet werden.