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di ee e i ee e Da= agbsc 1 2 66„ Daz=— asbzci 1 2 66 „ 72 73 71 9 753 Die Summe der letzten 6 Determinanten iſt gleich Da, und daher i e e D;=(albzca— aibscz+ azbaci— azbicg+ asbica— asbci) 1 2 63 71 22 73
Der Klammerwerth iſt aber nichts anderes, als die entwickelte Determinante Da, und daraus folgt, daß Da— Di Da.
§. 20. Auflöſung eines Syſtems linearer Gleichungen mittelſt der Determinanten.
Wie ſchon in§. 2 theilweiſe erörtert wurde, bieten bei der Auflöſung linearer Gleichungen die Determinanten die allergrößten Vortheile. Es mag genügen, die hierher gehörigen und ganz allgemein gültigen Lehrſätze an einem Syſtem von 3 Variabeln abzuleiten.
auX+ alsy+ aisz= G.
agix+ a2 y+ a232= ½ D=
231X 232 y— 2a332= 7 2a31l a32 233 D iſt die Determinante der Coefficienten und wird erhalten, indem man in dem richtig geordneten Syſtem die Variabeln und Conſtanten löſcht. Man multiplicire die Gleichungen der Reihe nach mit beſtimmten aus D entnommenen Unterdeterminanten und addire, ſo entſteht
a11 AI1X+ a12 AI1y+ alg AlI2= AAu
a21 A21X a2 A21y— as Aiy=„Axl
a31 AsiX+. as2 A31y+ assAsiz=„Asl
(ali A+ aeiAz+† a31 As1)x+(als Au+ a2sA+ ass As1)y
+(ais Aul+ aas An+ ass A1)z= aAu+ 9Aan+„Asl.
Der Coefficient von x iſt nach Formel(13) die Determinante D. Dagegen ſind die beiden Cokffi⸗ cienten von y und z nach§. 15 gleich Null, weil ſie aus einer Summe von Produkten beſtehen, bei welchen die Elemente einer Vertikalreihe mit den Unterdeterminanten einer anderen Vertikalreihe multi⸗ plicirt ſind. Daher iſt
àll à12 213 àa2l à22 223
(21)
— Ann— 6 Ai„Ai(22) ali Anl+ aai Aei+ ag1 A Wird das gegebene Syſtem in gleicher Weiſe mit den Unterdeterminanten Ais, Azz, Ass, oder mit Aus,
Ass, Ass multiplicirt, ſo werden bei der Addition je zwei Unbekannte verſchwinden. Man erhält dann die Löſungen
A½i² 6Ae⸗„Asz a12 Al2+ a22 A22 a82 A2 —.αι+‿¶ ϑAs+„Ass als Ais a2s A23— ags A33 Die Nenner dieſer Löſungen ſind nur verſchiedene Formen der Determinante D. Auch die Zähler ſind Determinanten, die man erhält, wenn man in D für die Coefficienten der betreffenden Unbekannten die Conſtanten a,„, y ſetzt: