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D= aul Au. Weiter iſt Au gleich a2s, mal der zugehörigen Unterdeterminante der folgenden Ordnung. Schließlich erhält man als einzigen Werth der ganzen Determinante das Diagonalglied.
§. 14.
Eine Determinante der nten Ordnung kann immer in eine Determinante der(n+ 1) ten Ordnung verwandelt werden.
130 0 0 P= 1 n b.= WEM ul 3e 43(15) — 1 2 3— y bi be bs ci Cz Ca
Z CI Ca C3 Der ganze Werth der zweiten iſt gleich 1, mal der zugehörigen Unterdeterminante, daher gleich der erſten Determinante. Die Elemente x, y, z können hierbei beliebig gewählt werden.
§. 15.
Multiplicirt man die Elemente einer beliebigen Reihe mit den Unterdeterminanten, welche zu den Elementen einer Parallelreihe gehören, ſo iſt die Summe dieſer Produkte gleich Null. Dieſer Satz iſt eigentlich nur eine Wiederholung von§. 9. Denn läßt man z. B. in einer Determinante der vierten Ordnung(§. 11) die Elemente der erſten Horizontalreihe gleich denen der dritten werden, ſo wird der Werth der Determinante gleich Null. Unter dieſer Vorausſetzung geht Formel(10) über in
D= asi All— aae A12+ a8 Ais— asAA4= 0(16) Bei dieſer Subſtitution blieben die Unterdeterminanten A ungeändert, ſo daß Formel(16) die Produkte aus den Elementen der dritten mit den Unterdeterminanten der erſten Hortzontalreihe enthält. Legen wir das Zeichen der Glieder in die Unterdeterminanten, ſo wird
a31 AlI ass Ai2— ag3 Al3+ asaA4= 0.
§. 16.
Zerlegt man die Elemente einer beliebigen Reihe in zwei Theile, ſo erſcheint die ganze Determinante als eine Summe oder Differenz von zwei anderen Determinanten derſelben Ordnung. Setzt man z. B. in einer Determinante der dritten Ordnung: au=(α 11), als=(ais 51²), aus= (£ S13), ſo wird D=(au+ 11)) A1+(ai£ 12) Ais+f(ais X 13) Als D= iAul+ ais Ai⸗+ Gi3A(Gu Aun+ 1² Ai⸗+(1s Ais). Geht man zur ſchematiſchen Darſtellung zurück, ſo wird
—i1 ³ 911 l2 912 413+ 915 i ie s 11 12 913 a21 222 223= 2ai agg ass+ a21 a22 223 4(17) 231 232 233 a31 232 233 ag a32 233
Durch die Wiederholung dieſes Verfahrens kann die gegebene Determinante in eine beliebige Anzahl von Determinanten derſelben Ordnung zerlegt werden.
§. 17.
Sind zwei Determinanten von derſelben Ordnung völlig gleich, bis auf die Elemente je einer Horizontal⸗ oder Vertikalreihe, welche in beiden Determinanten dieſelbe Lage haben, ſo können dieſe nach folgendem Schema addirt oder ſubtrahirt werden: