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Unterdrückt man in der urſprünglichen Form Da die beiden Reihen des Elementes aas, alſo die vierte Horizontal⸗ und die dritte Vertikalreihe, ſo erhält man offenbar ganz dasſelbe Schema für Aa, als wenn man die beiden Reihen des nämlichen Elementes aas in Da, nämlich die erſte Horizontal⸗ und die dritte Vertikalreihe unterdrückt. Ebenſo erhält man auch für Au, Aas, Aua dieſelben Schemata, einerlei ob in D. oder Da die beiden Reihen der entſprechenden Elemente unterdrückt werden. Dieſes Verfahren, die einem Elemente zugehörende Unterdeterminante ſchematiſch herzuſtellen, iſt ganz allgemein anwendbar und macht die Eingangs erwähnte Transformation der Hauptdeterminante überflüſſig. Wird in dem urſprünglichen Schema die pte Horizontal⸗ und die qte Vertikalreihe unterdrückt, ſo ſtellt der Reſt die Unterdeterminante Apgq vor.

Auch nach den Elementen irgend einer Vertikalreihe können die Glieder einer Determinante geordnet werden. Zu dem Zweck darf man dieſelbe nur nach§. 7 ſo umordnen, daß die Vertikalreihen horizontal werden, und auf dieſe das angegebene Verfahren anwenden. Nach der erſten oder zweiten Vertikalreihe geordnet, heißt dann obige Determinante

D= all Al— aai Aer+ aa As— aa Aa 12 D=— ais Ais+ aae As— ags Ass+ft a42 A2(12) 12 7112 22 43³22 32 4332 Auch die Schemata dieſer Unterdeterminanten gehen aus der urſprünglichen Form der Hauptdeterminante hervor, wenn man die beiden Reihen der betreffenden Elemente ganz weglöſcht, mit dem einzigen Unter⸗ ſchied, daß die Vertikalreihen horizontal erſcheinen und umgekehrt, ein Unterſchied, der für den Werth der Determinanten bekanntlich ohne Bedeutung iſt.

In den Formeln(10),(11) und(12) ſind diejenigen Glieder poſitiv, bei welchen die Summe der Indices des Elements eine grade Zahl iſt, dagegen ſind alle Glieder negativ, bei welchen dieſe Indices⸗ Summe ungrad iſt. Es iſt zweckmäßig, das Zeichen der Glieder in den Unterdeterminanten⸗Factor zu legen. Man verbindet dann alle Glieder durch das Pluszeichen, nimmt aber die Unterdeterminante Apq poſitiv oder negativ, je nachdem die Summe der Indices p+ g grad oder ungrad iſt.

D= apiApr+ ap⸗Apz+ apsAps+......(13) D= aidAid+ asqAsd+ asqAsq+......

Dieſe Form der Zerlegung iſt für die Ausrechnung der Determinante von der größten Wichtigkeit, weil die Unterdeterminanten um einen Grad niederer, als die Hauptdeterminante und daher leichter zu berechnen ſind. Wendet man dieſe Zerlegungsformel auch wieder auf die Unterdeterminanten an, ſo führt ſchließlich die Euttbickalnnd einer Determinante beliebigen Grades auf möglichſt einfache Unterdeterminanten zurück.

§. 12.

Sind alle Elemente einer Reihe gleich Null, mit Ausnahme eines einzigen, ſo iſt die ganze Deter⸗ minante gleich dieſem Element, multiplicirt mit der zugehörigen Unterdeterminante. Man ſetze in(10) a11= 2a12= 214= 0, ſo wird D= a18Ais.

§. 13.

Sind alle Elemente auf einer Seite der Diagonale gleich Null, ſo iſt die ganze Determinante gleich dem Diagonalglied.

— a)] 1222 433444(14)