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a a. An=— 222 223 412— a21 223 413— 221 22 2a32 233 2a31 233 231 232
D= all A— a12 A12+ als Ais(8)
Wenden wir bei einer Determinante der vierten Ordnung(§. 6) doppelte Indices an, ſo gibts ali alz als a14 D= 22l 222 a23 224 a31 a32 233 234 aal à42 243 244 Entwickelt und nach den Elementen der erſten Horizontalreihe geordnet, gibt
D= all(a2z as3a44+†. aasa34a42+ a24232a43— aa2assaz«— aasadage— a44as2ag)— a12(aala33a44 + à23 934441+ 224481448— a41ass424— a4gazaag— a44a31 423)+ als(a21432444+ aazas4a41 + à24a31442— a414g2a24— a4zag4ag— a44431 422)— aua(ala32a43—+ 222433941+ 223831942 — a2alazag— aazasgagl— a4a1a22).
Auch hier ſind die Klammergrößen entwickelte Determinanten und zwar von der dritten Ordnung. Schematiſch dargeſtellt und nach den voranſtehenden Elementen bezeichnet, heißen dieſelben:
a422 223 224 221 223 224
An= à32 233 234 A412= a31 2gg 234(9) a42 24s 244 a4’ à4s 244 2421 22g 221 2421 222 223 Ais= à3 a32 234 A4= a3i à32 233 a4l 242 244 a4l 242 243
D= al An— a12 A12+ a1s A1s— a14 Al4(40)
Die Determinanten A werden Unter⸗Determinanten genannt, weil ſie um einen Grad niederer ſind, als die gegebenen. Manche heißen ſie auch Partial⸗Determinanten, Andere nennen ſie Minoren. Das Schema einer Unter⸗Determinante entſteht dadurch aus dem Schema der Haupt⸗Determinante, daß man die Reihe des zugehörigen Elements horizontal und vertikal unterdrückt. Um z. B. Als zu erhalten, ſtreicht man die erſte Horizontal⸗ und die dritte Vertikal⸗Reihe. Soll die Determinante nach den Elementen irgend einer anderen Horizontal⸗Reihe geordnet werden, ſo braucht man dieſelbe nur ſo lange nach§. 8 zu transformiren, bis die betreffende Reihe erſte Horizontal⸗Reihe geworden iſt und die übrigen in ihrer urſprünglichen Ordnung ſtehen. Auf dieſe transformirte Determinante wird dann das angegebene Ver⸗ fahren angewendet. So geht durch 3 Transformationen die zweite der nachſtehenden Determinanten aus der erſten hervor:
(Di)(Da) au ai ais a a41 a2 aas 244 D= 221 222 223 24— all àls àls 214 a31 232 2g 234 a21 à2g 2à23 224 a4l aà4s aas a44. a3i a32 233 234
Die Unter⸗Determinanten Au, Aa, aas, Aai entſtehen aus Da, indem man die beiden Reihen des betreffenden Elementes unterdrückt. So iſt z. B.:
à11 à12 214 all àl2 2l3
As= aai 422 224 Ad= aai a22 223
a31 a32 234 a31 2g2 233
D=—(aAaiAan— aas A2+ a4s A4s— a44 A44) D=— aai Aar+ a42 A42— a4s A4s+ aA(11)