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dieſer Weiſe bezeichnete Determinanten werden aus den früheren abgeleitet, indem man au für a, alſo au für al, a für b, as für c ſetzt, z. B.:

all 2i2 213 à11922 233— aizazgagi+† a18a21432. azi azg aag(4) — a11223àg2— alz2a21ags— a132a22 a31 agi à32 233

Die erſten Indices geben die Horizontal⸗, die zweiten die Vertikal⸗Reihe der Elemente an. Wie früher die Buchſtaben a, b, o, ſo ſtehen jetzt die Horizontal⸗Indices 1, 2, 3 in allen Gliedern in ihrer natür⸗ lichen Reihenfolge, und nur die Indices der Vertikal⸗Reihen ſind permutirt, genau wie früher. Um eine in dieſem Schema gegebene Determinante auszurechnen, ſchreibt man die Permutationsformen der Vertical⸗ Indices unter die wiederholt geſetzte wohl geordnete Form der Horizontal⸗Indices

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2 2 1 3 3 2 1 und ſchreibt dann die über einander ſtehenden Indices dem Elemente a bei. So entſtehen z. B. die Glieder A11a2zass, alzazsasi, alsazlasz ꝛc., deren Vorzeichen wieder nach der Klaſſe der Permutationsform der Vertikal⸗Indices beſtimmt wird. Man überzeugt ſich leicht, daß dieſelbe Determinante entſteht, wenn man die nicht permutirten Indices als Vertikal⸗ und die permutirten als Horizontal⸗Indices den Elementen beiſetzt.

§. 7.

Eine Determinante bleibt unverändert, wenn man, ohne ſonſtwie die Reihenfolge zu ändern, die Horizontal⸗Reihen vertikal und die Vertikal⸗Reihen horizontal ſchreibt.

al az 23 ar bi CI bi b b— a2 b 2 Cci C. Ca as bs es

Beide Determinanten haben dasſelbe Diagonalglied. Leitet man von dieſem die beiden Determinanten nach der Leibnitz'ſchen Regel ab, ſo müſſen auch dieſe identiſch gleich werden.

§. 8.

Vertauſcht man in einer Determinante zwei Horizontal⸗, oder zwei Vertikal⸗Reihen mit einander, ſo bleibt die Determinante dem abſoluten Werth nach unverändert, wechſelt aber das Zeichen.

al ag 23 al az a bi bz bs=— ſci ca cs(5) ci Ci c bi be ba

Die Glieder der zweiten Determinante entſtehen aus den Gliedern der erſten, indem man in dieſen die Buchſtaben b und e, oder, was dasſelbe ſagt, die Indices dieſer Elemente vertauſcht. Daraus folgt, daß die poſitiven Glieder der zweiten den negativen Gliedern der erſten, und die negativen Glieder der zweiten den poſitiven Gliedern der erſten identiſch gleich ſein müſſen, woraus dann weiter hervorgeht, daß beide Determinanten gleiche Werthe, aber entgegengeſetzte Zeichen haben. Auch ſo: Entwickelt man beide Determinanten, ſo iſt das erſte Glied der zweiten dem zweiten Glied der erſten gleich, nur hat es das entgegengeſetzte Zeichen. Aus beiden Gliedern gehen nach der Leibnitz'ſchen Methode weiter lauter gleiche Glieder mit entgegengeſetzten Zeichen hervor.

Durch fortgeſetztes Vertauſchen kann eine beliebige Reihe in eine parallele Lage gebracht und dabei die urſprüngliche Folge der übrigen Reihen wieder hergeſtellt werden.