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form der Indices zwei vertauſcht, ſo ändert ſich die Anzahl der Derangements um eine ungrade Zahl. Die Anzahl wird daher grad, wenn ſie vorher ungrad war, und ungrad, wenn ſie vorher grad war, oder mit anderen Worten, die Permutationsform wird durch dieſe Vertauſchung in eine andere Klaſſe übergeführt.

§. 5. Das Vorzeichen der Determinanten⸗Glieder.

Wenden wir jetzt dieſes Geſetz auf die Indicesformen der nach der Leibnitz'ſchen Regel gebildeten Determinantenglieder an, ſo erkennen wir leicht folgenden Zuſammenhang: Das erſte oder Diagonalglied hat 0 Derangements und gehört zur erſten Klaſſe. Das zweite Glied beſitzt eine ungrade Anzahl mehr, als das erſte, daher im Ganzen eine ungrade Zahl, und gehört zur zweiten Klaſſe. Im dritten Glied finden wir eine ungrade Anzahl Derangements mehr oder weniger, als beim zweiten, alſo im Ganzen eine grade Anzahl, weßhalb wir es wieder zur erſten Klaſſe zählen. Wird dieſe Unterſuchung fortgeſetzt, ſo lehrt ſie uns, daß alle Determinantenglieder, welche nach Leibnitz poſitiv werden, hinſichtlich der Permutationsform der Indices zur erſten Klaſſe, dagegen alle negativen zur zweiten Klaſſe gehören.

Eine Determinante von beliebiger Ordnung wird jetzt ſo ausgerechnet: Zuerſt nimmt man aus dem Schema das Diagonalglied. Dann werden alle Permutationsformen der Indices dieſes Diagonal⸗ gliedes gebildet und deren Klaſſe beſtimmt. Hierauf ſchreibt man die Elemente des Diagonalgliedes ohne

Indices ſo oft hin, als man Permutationsformen der Indices erhalten hat, und fügt dann den eben gebildeten Gliedern die verſchiedenen Indicesformen bei. Ein Glied erhält das Plus⸗ oder Minus⸗Zeichen, je nachdem ſeine Indicesform in die erſte oder zweite Klaſſe gehört. Die Summe aller Glieder iſt die geſuchte Determinante. Die Determinante der vierten Ordnung heißt dann ſo:

ar bzcada+ aubscCada+ aubacads + as bi Cada+ aasbscid.+ aabacsdi

al ag as al+ asbiczd.+ asbzcadi+ asbacida bi b b ba— aAbi cda— a b⸗Ci ds— a4bsc=di ci ca ca c-. 561.— arbzcads— arbgczda— albacada 63) di da da da— agbicad.— asbacadi— asbacidg — agbicad— asbzcida— asbacadi — aabi cadg— adbe cgdi— aabscCrde Zur Berechnung einer Determinante der dritten Ordnung benutzt man gewöhnlich folgendes Schema: ail as ag al 22 bi ba bs bi b⸗ ci ca c ci c

Die beiden erſten Vertikal⸗Reihen werden dem Schema rechts beigeſchrieben. Multiplicirt man jetzt in der Diagonale arbecs und parallel damit, ſo erhält man die 3 poſitiven Glieder albacs+ aabaci + asbicz. Dagegen entſtehen die 3 negativen Glieder— asbecc— albsca— agbics, wenn man in der Diagonale asbeci und damit parallel die Elemente multiplicirt.

§. 6. Eine andere Art, die Elemente einer Determinante zu bezeichnen.

In dem Schema war bisher die Stelle eines beliebigen Elementes in der Weiſe beſtimmt, daß man ſeine Horizontal⸗Reihe an dem beſonderen Buchſtaben a, b, c, ſeine Vertikal⸗Reihe an dem Index erkennen konnte. Wir können auch alle Elemente durch denſelben Buchſtaben bezeichnen, nur muß dann auch die Horizontal⸗Reihe, wie bisher die Vertikal⸗Reihe, durch einen beſonderen Index angegeben werden. In